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Gleichungen durch quadratisches Ergänzen lösen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, Quadratische Ergänzung

TamTam95 aktiv_icon

18:00 Uhr, 08.06.2015

Hey,

ich hoffe mir kann jemand bei einer Aufgabe zur quadratischen Ergänzung helfen :-)

Danke schon mal im Voraus

Lösen Sie die folgenden Gleichungen durch quadratisches Ergänzen! Achten Sie auf eine klare Darstellung Ihres Lösungsweges und geben Sie die Lösung(en) an.

a)

12x+2x²=54

b)

x²=40

- 18 x

c) 0,5 x (x + 24) = 56

d) 56 -

2x²=

- 24 x

e) x (x + 34) = 35

f) 47 + 46 x =

x²

g) 2 x (x - 66) = 500

h) 78 x - 160 =

-x²

Ist damit gemeint, dass man die Gleichungen in die Scheitelpunktsform bringen muss?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Scheitelpunkt bestimmen (mit quadratischer Ergänzung)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Richard23 aktiv_icon

18:26 Uhr, 08.06.2015

Nein, die Scheitelpunktsform ist nicht gesucht, sondern die x-Werte, für die diese Gleichung erfüllt ist. Um diese x-Werte zu erhalten, gibt es mehrere Möglichkeiten und eine davon ist durch quadratische Ergänzung.

Die quadratische Ergänzung funktioniert wie folgt (am Beispiel der Teilaufgabe a)):

1. Schritt: Die Gleichung in die Form

a x^{2} + b x + c = 0

bringen.

12 x + 2 x^{2} = 54 ∣ - 54

2 x^{2} + 12 x - 54 = 0

2. Schritt: Die Gleichung durch den Faktor vor dem

x^{2}

teilen.

2 x^{2} + 12 x - 54 = 0 ∣ : 2

x^{2} + 6 x - 27 = 0

3. Schritt: Das Quadrat des halbierten Faktors vor dem

x

wird sowohl addiert als auch subtrahiert.
Dies ist die eigentliche quadratische Ergänzung!
In der bisherigen Rechnung ist der Faktor vor dem x die 6, diese halbiert und quadriert ergibt

{(\frac{6}{2})}^{2} = 3^{2}

. Wenn man diese nun sowohl addiert als auch subtrahiert, ändert sich nichts an der Gleichung, da

+ 3^{2} - 3^{2} = 0

ist
D.h.

x^{2} + 6 x + 0 - 27 = x^{2} + 6 x + 3^{2} - 3^{2} - 27 = 0

4. Schritt: Binomische Formel

[a^{2} + 2 a b + b^{2} = (

a+b)^2] anwenden.

x^{2} + 6 x + 3^{2} - 3^{2} - 27 = (x + 3)^{2} - 3^{2} - 27 = (x + 3)^{2} - 36 = 0

5. Schritt: Umformen, sodass die Klammer alleine auf einer Seite steht und anschließend Wurzel ziehen.

(x + 3)^{2} - 36 = 0 ∣ + 36

(x + 3)^{2} = 36 ∣ \sqrt{}

x + 3 = \pm 6

6. Schritt: x ausrechnen.

x + 3 = \pm 6 ∣ - 3

x = - 3 \pm 6 \Rightarrow x_{1} = 3

und

x_{2} = - 9

D.h. für die beiden x-Werte ist die obrige Gleichung erfüllt.

Probiere diese Anleitung einfach mal mit der nächsten Aufgabe aus.

Atlantik aktiv_icon

18:28 Uhr, 08.06.2015

h) 78 x - 160 = - x^{2} | + x^{2} + 160

x^{2} + 78 x = 160 | + q . E . {(\frac{+ 78}{2})}^{2} = 39^{2}

x^{2} + 78 x + 39^{2} = 160 + 39^{2}

{(x + 39)}^{2} = 1681 | \sqrt{}

x + 39 = \pm \sqrt{1681}

x_{1} = - 39 + 41 = 2

x_{2} = - 39 - 41 = - 80

mfG

Atlantik

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