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Gleichungssystem für 3 Unbekannte

Universität / Fachhochschule

Tags: Gleichungssystem

holdi aktiv_icon

21:58 Uhr, 27.07.2026

Ich habe die Koordinaten von 3 Punkten einer Hyperbel.
Das entsprechende Koordinatensystem ist in y-Richtung ("2. Hauptlage") um

y 0

aus der Hyperbel-Mitte verschoben.

Das Gleichungssystem mit 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten

a, b

und

y 0

konnte ich aufstellen:

{(\frac{3,33 - y 0}{a})}^{2} - {(- \frac{144,18}{b})}^{2} = 1

{(\frac{29,26 - y 0}{a})}^{2} - {(- \frac{65,91}{b})}^{2} = 1

{(\frac{25,94 - y 0}{a})}^{2} - {(\frac{78,28}{b})}^{2} = 1

Aber es aufzulösen, ist für mich wegen der quadratischen Ausdrücke zu schwer. Bitte helft mir.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

01:24 Uhr, 28.07.2026

a = 52,039

b = 107,743

y_{0} = 90,264

holdi aktiv_icon

12:28 Uhr, 28.07.2026

Roman,
pardon dafür, dass ich das ganz klein und schwach erscheinende Bild erst jetzt entdeckt habe.
Die Werte

C 2

und

C 4

sind negativ. Rechne doch bitte noch einmal. Was steckt hinter diesem Lösungs-Werkzeug?

calc007

12:36 Uhr, 28.07.2026

Da die Koeffizienten

C_{2}

und

C_{4}

sowieso nur im zu quadrierenden Teil auftreten, sind die Vorzeichen unerheblich für das Endergebnis.
Übrigens:
Das Ergebnis für a und

b

ist mehrdeutig, auch hier können

\frac{+}{-}

-Vorzeichen statthaft sein.
also:

a = \pm 52.0394

b = \pm 107.7435

y_{0} = 90.2642

calc007

13:37 Uhr, 28.07.2026

PS:
Die Formeln werden zwar etwas anspruchsvoller, aber sie lassen sich noch formal darstellen.
Ich wage mal beispielhaft für die Größe

y_{0} :

y = \frac{(C_{2} + C_{4}) \cdot (C_{2} - C_{4}) \cdot (C_{4} \cdot C_{5} + C_{6} \cdot C_{3}) \cdot (C_{4} \cdot C_{5} - C_{6} \cdot C_{3}) + (C_{4} + C_{6}) \cdot (C_{4} - C_{6}) \cdot (C_{2} \cdot C_{3} + C_{4} \cdot C_{1}) \cdot (C_{4} \cdot C_{1} - C_{2} \cdot C_{3})}{(C_{4} + C_{6}) \cdot (C_{4} - C_{6}) \cdot (C_{4} \cdot C_{4} \cdot C_{1} - C_{2} \cdot C_{2} \cdot C_{3}) + (C_{2} + C_{4}) \cdot (C_{2} - C_{4}) \cdot (C_{4} \cdot C_{4} \cdot C_{5} - C_{6} \cdot C_{6} \cdot C_{3})} / 2

(gemäß der Koeffizienten-Bezeichnung von Roman)

Wer's übers Knie brechen will, kann dies auch noch für a und

b

tätigen.
Aber für den Alltagsgebrauch ist es wahrscheinlich einfacher, ggf. durch wieder-einsetzen zu programmieren - wer denn programmieren wollte.

Upps, jetzt ist der Editor eher überfordert.
Ich hoffe, vielleicht wird's so abkopier-sicherer:

y =

Zähler/2/Nenner

Zähler=

(C_{2} + C_{4}) \cdot (C_{2} - C_{4}) \cdot (C_{4} \cdot C_{5} + C_{6} \cdot C_{3}) \cdot (C_{4} \cdot C_{5} - C_{6} \cdot C_{3})

+ (C_{4} + C_{6}) \cdot (C_{4} - C_{6}) \cdot (C_{2} \cdot C_{3} + C_{4} \cdot C_{1}) \cdot (C_{4} \cdot C_{1} - C_{2} \cdot C_{3})

Nenner=

(C_{4} + C_{6}) \cdot (C_{4} - C_{6}) \cdot (C_{4} \cdot C_{4} \cdot C_{1} - C_{2} \cdot C_{2} \cdot C_{3})

+ (C_{2} + C_{4}) \cdot (C_{2} - C_{4}) \cdot (C_{4} \cdot C_{4} \cdot C_{5} - C_{6} \cdot C_{6} \cdot C_{3})

holdi aktiv_icon

14:22 Uhr, 28.07.2026

lange Formeln: schön und gut
Aber: ich möchte gerne wissen, wie diese zustandekommen.

Jumanji

14:46 Uhr, 28.07.2026

Erst kann man es etwas übersichtlicher machen, setzt

\frac{1}{a} 2 = A, \frac{1}{b} 2 = B,

dann ist das GLS schon mal linear in A und B. Dann 2. Gl von 1. und 3. abziehen, gibt 2 Gleichungen, A nach links,

B

nach rechts bringen, beide Gleichungen durcheinander dividieren, A und

B

falle raus, man erhält

y 0,

rückwärts einsetzen, fertig.

calc007

14:48 Uhr, 28.07.2026

Tipp aus (erinnere dich)

\to :

www.onlinemathe.de/forum/Gleichungssystem-loesen-541

Eine Gleichung explizit nach einer Unbekannten auflösen.

Diese Unbekannte in allen restlichen Gleichungen durch dises "Explizite" ersetzen.

\Rightarrow

Zwischenresultat:
Schon hast du

>

eine Gleichung weniger,

>

und eben eine Unbekannte weniger (weil eben ersetzt...)

Wege gibt es viele...

Roman-22

14:50 Uhr, 28.07.2026

>

pardon dafür, dass ich das ganz klein und schwach erscheinende Bild erst jetzt entdeckt habe.
Ja, in diesem Forum sind leider nur Bilder als Anhang zulässig und die werden nicht mit Dateinamen und Größe angezeigt, was sinnvoller wäre, sondern nur mit einem kleinen anklickbaren Vorschaubildchen.

>

Die Werte

C 2

und

C 4

sind negativ.
Das ist egal, da diese Größen (und auch

C_{6})

ausschließlich quadriert vorkommen.
Das Vorzeichen wäre bei

C_{1}, C_{3}

und

C_{5}

relevant, aber nicht bei den anderen drei Konstanten.

>

Rechne doch bitte noch einmal.
Nö! ;-)

>

Was steckt hinter diesem Lösungs-Werkzeug?
Ein kommerzielles Matheprogramm in einer Version, die es nicht mehr zu erwerben gibt und für den eher suboptimalen Nachfolger möchte ich nicht Werbung machen.
Es gibt auch kostenlose Alternativen wie zB GeoGebra oder Maxima mit denen sich solche System auch lösen lassen.
Zu Fuß ist es mühsamer, aber nicht unmöglich.
Du könntest jede Gleichung zB nach

a^{2}

auflösen

(a

und

b

kommen ja ausschließlich quadriert vor) und dann zweimal je zwei gleichsetzen. Damit hast du schon nur mal zwei Gleichungen in den zwei Unbekannten

b

und

y_{0}

. Aus diesen beiden dann wieder eine Variable eliminieren

. .

.
Auch die von Jumanji vorgeschlagene Substitution

A = \frac{1}{a^{2}}

und

B = \frac{1}{b^{2}}

kann zu besserer Übersicht verhelfen.

Im Anhang ein Screenshot von der Lösung des Systems mithilfe des kostenlosen GeoGebras.
Die ersten beiden 'Lösungs'tripel sind natürlich nicht wirklich Lösungen, da a oder

b = 0

ja eine Division durch Null liefern würden und daher auszuschließen sind.
Die anderen drei (abgeschnittenen) Lösungen nach der gelb markierten unterscheiden sich nur durch unterschiedliche Vorzeichenkombinationen bei a und

b

. Aber ich denke, dass du bei a und

b

ohnedies nur an positiven Werten interessiert sein dürftest.

P . S . :

Natürlich kann man das Ganze auch in einer Zeile von GeoGebra lösen lassen wie im zweiten Bild gezeigt. Finde ich aber nicht sonderlich übersichtlich.

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