Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert n-te Wurzel aus n hoch a

Grenzwert n-te Wurzel aus n hoch a

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

YoFrankie aktiv_icon

18:34 Uhr, 02.12.2009

Hallo,

ich weiß, dass

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

.
Gilt auch

\forall a \geq 1 : a \in ℕ : lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{a}} = 1

? Da ich ja

\sqrt[n]{n^{a}}

auseinanderziehen kann, in endlich! viele faktoren

\sqrt[n]{n} * \sqrt[n]{n} * \sqrt[n]{n} * . . . . * \sqrt[n]{n}

, die alle gegen 1 konvergieren. Bei

\sqrt[n]{n^{n}}

, das logischerweise gegen n also unendlich konvergiert, kann man ja nur nicht so argumentieren:

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{n}} = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} * . . . . * \sqrt[n]{n} = 1

, da es unendlich viele Faktoren sind, die gegen 1 konvergieren.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

18:43 Uhr, 02.12.2009

Ich würde das ganze einfach als Potenz betrachten:
Die n-te Wurzel aus

n

kann man ja auch als

n^{\frac{1}{n}}

schreiben, was, wie du richtig gesagt hast gegen 1 geht, weil der Ausdruck

\frac{1}{n}

gegen 0 geht und irgendwas hoch 0 immer 1 ist.
Mit dem Parameter a sieht das ganze so aus:

n^{\frac{a}{n}}

und damit der Exponent immernoch gegen 0 läuft und damit der ganze Ausdruck auch immer 1 wird.

YoFrankie aktiv_icon

19:36 Uhr, 02.12.2009

Einfach zu sagen

n^{\frac{1}{n}} \to 1 (n \to \infty)

, da der exponent gegen 0 geht, ist mathematisch nicht korrekt, da der exponent zwar gegen 0 läuft, aber gleichzeitig die Basis immer größer wird.
Das wäre, als würde ich sagen:

(1 + \frac{1}{n})^{n} \to 1

, da

(1 + \frac{1}{n}) \to 1

und 1 hoch irgendwas immer eins ergibt.
Es gilt aber

(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e

.
Es ist also immer die Frage, "wer gewinnt", wenn das eine immer kleiner wird, das andere dafür aber immer größer.
Bei

n^{\frac{1}{n}}

gewinnt der Exponent, nun ist eben die Frage, ob der Exponent immer noch gewinnt, wenn man n vorher mit einem beliebig großen a potenziert.

anonymous

21:04 Uhr, 02.12.2009

Ich würde aber trotzdem sagen, dass a auf den Grenzwert keinen Einfluss hat, da wir hier ja von der Unendlichkeit reden.
Es gilt ja trotzdem, dass "irgendetwas" hoch

0 = 1

ist und "irgendetwas" auch die Unendlichkeit betrifft.
Also selbst wenn der Exponent

\frac{1}{n}

noch mit einem natürlichen Wert a multipliziert wird, so wird er trotzdem im Unendlichen gegen 0 gehen, je größer

a,

umso länger dauert es zwar aber irgendwann geht er gegen 0 und damit greift wieder Unendlich hoch

0 = 1

pakaKoni aktiv_icon

21:11 Uhr, 02.12.2009

Hallo

Wähle

c = b^{a} > 1

beliebig, und vergleich das mit

\sqrt[n]{n} * \sqrt[n]{n} * . . . * \sqrt[n]{n}

Du weißt ja, dass es ein n gibt mit

\sqrt[n]{n} < b

b > 1

, und da b>1 beliebig war...
Ich denke, so müsste man das zeigen können.

hagman aktiv_icon

21:14 Uhr, 02.12.2009

Das im ersten Post gegebene Argument ist aber stichhaltig.
Aus

a_{n} \to a

und

b_{n} \to b

folgt ja

a_{n} b_{n} \to a b,

somit in der Tat (per Induktion)

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{k}} = lim_{n \to \infty} {(\sqrt[n]{n})}^{k} = {(lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n})}^{k} = 1^{k} = 1

Wegen

lim \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{lim a_{n}}

(sofern

lim a_{n} \neq 0),

gilt dies sogar für

k \in ℤ

.
Für beliebiges a gilt die Behauptung schließlich durch Einquetschen von a zwischen zwei ganze Zahlen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

689806

689612

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?