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Flächeninhaltberechnung eines eiförmigen Körpers

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt

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18:03 Uhr, 25.03.2009

Hallo liebes Matheonlineforum,

es geht um das Ei in Aufgabe

14

dieser Seite(dessen Flächeninhalt):
http//www.poenitz-net.de/Mathematik/2.Geometrie/2.9.A.Kreisberechnungen.pdf

Also ich sehe dort nur einen Halbkreis(rechts), aber sonst nichts was ich berechnen könnte. Weiß vielleicht jemand von euch aus was sich das zusammensetzen könnte?

Und dann hätte ich nur noch eine kleine Frage:
Es geht um das Krüppelwalmdach in Aufgabe 7 dieser Seite:
http//www.poenitz-net.de/Mathematik/2.Geometrie/2.10.A.Koerperberechnungen.pdf
Was zählt hier von der unteren Hälfte zum Dachvolumen? Das ganze untere Prisma oder nur die zwei dunklen Rechtecke? Weil die Grundfläche des Prismas ist ja nicht gefärbt, zählt trotzdem das ganze Prisma oder nur die dunklen Rechtecke?

Vielen Dank

Gruß Shipwater

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DaAni aktiv_icon

18:19 Uhr, 25.03.2009

Wow, das mit dem Ei könnte ich auch nicht! Sowas macht ihr in der

10

Klasse?

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18:22 Uhr, 25.03.2009

Hallo,

ja ich bin in der zehnten Klasse. Und ja das kommt wahrscheinlich in der nächsten Klassenarbeit dran, deswegen verrät uns unser Lehrer nichts.

Vielen Dank

Gruß Shipwater

DaAni aktiv_icon

18:26 Uhr, 25.03.2009

das sind ja Lösungen unten angehängt, hast du da schon mal geschaut ob du aus denen schlau wirst?
Damit du zumindest weißt wie du vorgehen musst ;-)

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18:28 Uhr, 25.03.2009

Hallo.

Ja, ich weis dass dort die Lösungen stehen, aber mein Problem ist der Rechenweg. Ich weis nicht wie ich das ausrechnen kann, das Ergebnis alleine bringt mir wenig.
Wie gesagt ich sehe dort nur einen Halbkreis.

Edit: Achso, dort steht ja Halbkreis mit

r = a +

2*Achtelkreis mit

r = 2 a

-Dreieck

+

Viertelkreis mit

r = (2 - \sqrt{2}) a

Aber um ehrlich zu sein, hilft mir das auch nicht wirklich. also wieso nun genau da das Ei rauskommt.

Vielen Dank

Gruß Shipwater

DaAni aktiv_icon

18:33 Uhr, 25.03.2009

Darfst du in den Grafiken abmessen? oder sind das nur beispielhafte Skizzen?

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18:35 Uhr, 25.03.2009

Hallo,

also mein Problem ist, dass ich nicht weis, wo welcher Kreis minus was gerechnet wird, dass da genau der Flächeninhalt vom Ei herauskommt.

Vielen Dank

Gruß Shipwater

DK2ZA aktiv_icon

18:38 Uhr, 25.03.2009

Siehe Bild.

GRUSS, DK2ZA

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18:53 Uhr, 25.03.2009

Hallo,

also 1 Dreieck, 3 Kreisteile und ein Halbkreis? Also A und

B

kapiere ich, aber bei

C

und

D

bin ich mir nicht sicher.

Also bei

D

könnte ich mir nur das vorstellen:
Die Seitenlänge ist ja

2 a - a \cdot \sqrt{2}

und das Teil ist ein Viertel von einem ganzen Kreis, da der Winkel 90grad ist, also ist die Formel:

Π \cdot r^{2} \cdot \frac{α}{360} = Π \cdot {(2 a - a \cdot \sqrt{2})}^{2} \cdot \frac{90}{360} = Π \cdot {(2 a - a \cdot \sqrt{2})}^{2} \cdot \frac{1}{4} = Π \cdot {(a (2 - \sqrt{2}))}^{2} \cdot \frac{1}{4}

Und bei

C

könnte ich mir das vorstellen:
Man rechnet den Kreisteil mit

r = 2 a

und zieht dann das Dreieck

B

ab, sodass

C

übrig bleibt. Wow, das stimmt sogar oder? Also das wolltest du mir mit deiner Zeichnung übermitteln oder was anderes?
Also das Kreisteil wäre dann:

Π \cdot {(2 a)}^{2} \cdot \frac{45}{360} = Π \cdot {(2 a)}^{2} \cdot \frac{1}{8}

Das Dreieck

B

ist ja Grundfläche mal Höhe durch

2,

also

\frac{2 a \cdot a}{2} = \frac{2 a^{2}}{2} = a^{2}

Also Kreisteil minus Dreieck ist:

Π \cdot {(2 a)}^{2} \cdot \frac{1}{8} - a^{2}

Da es

C

zwei mal gibt:

(Π \cdot {(2 a)}^{2} \cdot \frac{1}{8} - a^{2}) \cdot 2

Ist das so richtig?

Und dann hätte ich nur noch eine kleine Frage:
Es geht um das Krüppelwalmdach in Aufgabe 7 dieser Seite:
http//www.poenitz-net.de/Mathematik/2.Geometrie/2.10.A.Koerperberechnungen.pdf
Was zählt hier von der unteren Hälfte zum Dachvolumen? Das ganze untere Prisma oder nur die zwei dunklen Rechtecke? Weil die Grundfläche des Prismas ist ja nicht gefärbt, zählt trotzdem das ganze Prisma oder nur die dunklen Rechtecke?

Vielen Dank

Gruß Shipwater

Shipwater aktiv_icon

19:50 Uhr, 25.03.2009

Hallo,

also nochmal zum Endrechenweg des Eis:

A = \frac{1}{2} \cdot Π \cdot a^{2} = (\frac{Π}{2}) a^{2}

B = \frac{2 a \cdot a}{2} = \frac{2 a^{2}}{2} = a^{2}

C = (\frac{1}{8} \cdot {(2 a)}^{2} \cdot Π) - a^{2} = (\frac{1}{8} \cdot 4 a^{2} \cdot Π) - a^{2} = (\frac{4}{8} \cdot Π \cdot a^{2}) - a^{2} = (\frac{Π}{2} - 1) a^{2}

C

gibt es zweimal also:

(\frac{Π}{2} - 1) a^{2} + (\frac{Π}{2} - 1) a^{2}

D = \frac{1}{4} {(a \cdot (2 - \sqrt{2}))}^{2} \cdot Π = \frac{1}{4} \cdot a^{2} \cdot 4 - (2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}) + 2 \cdot Π = \frac{1}{4} a^{2} \cdot ~ 0,343 \cdot Π = (\frac{1}{4} - ~ 0,343 \cdot Π) a^{2}

Alles zusammen:

(\frac{Π}{2}) a^{2} + a^{2} + (\frac{Π}{2} - 1) a^{2} + (\frac{Π}{2} - 1) a^{2} + (\frac{1}{4} - ~ 0,343 \cdot Π) a^{2}

= (1,570796327 + 1 + 1,141592654 + 0,269506042) a^{2}

= 3,981895023 a^{2}

Ist das richtig?

Vielen Dank

Gruß Shipwater

munichbb

10:52 Uhr, 27.03.2009

Hi,

ja sicher.

Gruß
munichbb

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12:34 Uhr, 27.03.2009

Hallo,

danke für die Antwort, aber leider weis ich nicht auf was das "ja sicher" bezogen war.
Also ob mein Ergebnis sicher richtig ist oder ob das untere Prisma zum Dachvolumen dazugehört?

Vielen Dank

Gruß Shipwater

Chuckly aktiv_icon

13:44 Uhr, 28.03.2009

Hi,
eigentlich verstehe ich nicht wirklich wo dein Problem liegt, DK2ZA hat das ganze in der Skizze doch genau aufgeschlüsselt

O . O

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14:06 Uhr, 28.03.2009

Hallo,

ich weis. Ich habe dann auch gerechnet und bin zu einem Ergebnis gekommen, bin mir aber nicht sicher, ob es stimmt, deswegen habe ich nochmal nachgefragt.

Und diese Frage ist bisher auch noch unbeantwortet:
Und dann hätte ich nur noch eine kleine Frage:
Es geht um das Krüppelwalmdach in Aufgabe 7 dieser Seite:
http//www.poenitz-net.de/Mathematik/2.Geometrie/2.10.A.Koerperberechnungen.pdf
Was zählt hier von der unteren Hälfte zum Dachvolumen? Das ganze untere Prisma oder nur die zwei dunklen Rechtecke? Weil die Grundfläche des Prismas ist ja nicht gefärbt, zählt trotzdem das ganze Prisma oder nur die dunklen Rechtecke?

Vielen Dank

Gruß Shipwater

DK2ZA aktiv_icon

12:03 Uhr, 29.03.2009

D = \frac{1}{4} \cdot {(a \cdot (2 - \sqrt{2}))}^{2} \cdot π =

= \frac{1}{4} \cdot a^{2} \cdot {(2 - \sqrt{2})}^{2} \cdot π =

= \frac{1}{4} \cdot a^{2} \cdot (4 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + 2) \cdot π =

= \frac{1}{4} \cdot a^{2} \cdot (6 - 4 \cdot \sqrt{2}) \cdot π =

= \frac{3}{2} \cdot a^{2} \cdot π - a^{2} \cdot \sqrt{2} \cdot π

Flächeninhalt

= a^{2} \cdot (3 \cdot π - π \cdot \sqrt{2} - 1) \approx 3,98189502262 \cdot a^{2}

Umfang

= a \cdot π \cdot (3 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}) \approx 7,20333649171 \cdot a

GRUSS, DK2ZA

Shipwater aktiv_icon

12:35 Uhr, 29.03.2009

Hallo,

das ist doch der Umfang des Eis oder? Danke für das Rechnen, das hatte ich auch bei dem Umfang des Eis raus.
Ich wollte aber eigentlich wissen, ob der Flächeninhalt, den ich oben errechnet habe stimmt. Könntest du das bitte schnell nachprüfen?

Vielen Dank

Gruß Shipwater

DK2ZA aktiv_icon

12:57 Uhr, 29.03.2009

Hab mich beim Abschreiben vertan. Ausgebessert.

GRUSS, DK2ZA

Shipwater aktiv_icon

12:59 Uhr, 29.03.2009

Hallo,

ok das habe ich auch jeweils raus, danke.

Und dann hätte ich nur noch eine kleine Frage:
Es geht um das Krüppelwalmdach in Aufgabe 7 dieser Seite:
http//www.poenitz-net.de/Mathematik/2.Geometrie/2.10.A.Koerperberechnungen.pdf
Was zählt hier von der unteren Hälfte zum Dachvolumen? Das ganze untere Prisma oder nur die zwei dunklen Rechtecke? Weil die Grundfläche des Prismas ist ja nicht gefärbt, zählt trotzdem das ganze Prisma oder nur die dunklen Rechtecke?

Vielen Dank

Gruß Shipwater

DK2ZA aktiv_icon

13:16 Uhr, 29.03.2009

Ich habe den Eindruck, da zählt alles zum Dachvolumen, was sich oberhalb des Rechtecks von

12 \cdot 8

befindet. Bei den anderen Dächern ist das wohl auch so.

Shipwater aktiv_icon

14:37 Uhr, 29.03.2009

Ok, dann würde ich mal sagen ran ans Rechnen. Also ich teile die obere Dachhälfte in ein Prisma und eine Pyramide und das untere ist auch ein Prisma.

Oberes Prisma:

V = G \cdot h = (\frac{4 \cdot 4}{2}) \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56

Pyramide:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (5 \cdot 4) \cdot h = \frac{20}{3} \cdot 4 = \frac{80}{3} = 26 \frac{2}{3}

Unteres Prisma:

V = G \cdot h = (\frac{8 + 4}{2} \cdot 4) \cdot 12 = 288

Alles zusammen:

56 + 26 \frac{2}{3} + 288 = 370 \frac{2}{3}

Ist das auch richtig?

Vielen Dank

Gruß Shipwater

DK2ZA aktiv_icon

14:52 Uhr, 29.03.2009

Optime!

370 \frac{2}{3}

habe ich auch raus.

GRUSS, DK2ZA

Shipwater aktiv_icon

14:53 Uhr, 29.03.2009

Hallo,

wunderbar. Danke für das Rechnen. Dann mache ich mich mal ans Oberfläche rechnen.

Gruß Shipwater

Shipwater aktiv_icon

15:13 Uhr, 29.03.2009

2 Rechtecke vom oberen Prisma:

s = \sqrt{h^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}

Rechtecke

= 7 \cdot \sqrt{20}

2 Rechtecke=

14 \cdot \sqrt{20}

4 Dreiecke der Pyramide:

s = \sqrt{h^{2} + {2,5}^{2}} = \sqrt{16 + 6,25} = \sqrt{22,25}

Dreieck:

\frac{\sqrt{22,25} \cdot 4}{2}

2 Dreiecke:

4 \cdot \sqrt{22,25}

s = \sqrt{20}

Dreieck=

\frac{5 \cdot \sqrt{20}}{2}

2Dreiecke

= 5 \cdot \sqrt{20}

Trapez:

\frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = 24

2 Trapeze:

48

2 Rechtecke vom unteren Prisma:

s = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20}

Rechteck:

\sqrt{20} \cdot 12

2 Rechtecke=

24 \cdot \sqrt{20}

Alles

: 14 \cdot \sqrt{20} + 4 \cdot \sqrt{22,25} + 5 \cdot \sqrt{20} + 48 + 24 \cdot \sqrt{20} = 259

Zählen die 2 Trapeze denn zur Oberfläche des Krüppelwalmdachs?
Wenn nicht komme ich auf

259 - 48 = 211

Ist eines davon richtig?

Vielen Dank

Gruß Shipwater

DK2ZA aktiv_icon

15:42 Uhr, 29.03.2009

Habe exakt dasselbe Ergebnis:

A = 86 \cdot \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{89} \approx 211,17

.

Ich denke, als Dach zählt nur die dunkle Fläche.

GRUSS, DK2ZA

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18:04 Uhr, 29.03.2009

Hallo,

vielen Dank für das Rechnen. Also ist die dunkle Fläche immer das Dach. Naja, jetzt warte ich einfach die Arbeit am Donnerstag ab und werde dann sehen, inwiefern ich Erfolg haben werde.

Gruß Shipwater

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14:03 Uhr, 30.03.2009

Hallo,

ich habe gerade gesehen, dass es noch ein Dach gibt. Das gekreuzte Giebeldach.

Also das besteht meiner Meinung nach aus 2 Prismen die sich in der Mitte kreuzen. Also muss man die zwei Prismen ausrechnen und dann das Gekreuzte subtrahieren oder?

Die Rechnung würde dann so aussehen:

Prisma

1 : \frac{6 \cdot 8}{2} \cdot 12,5 = 300

Prisma

2 : \frac{8 \cdot 8}{2} \cdot 12 = 384

Kreuzungspyramide:

\frac{1}{3} \cdot (8 \cdot 6) \cdot 8 = 128

Gekreuztes Giebeldach:

(300 + 384) - 128 = 684 - 128 = 556

Ist das auch richtig?

Vielen Dank

Gruß Shipwater

PS: Die Oberfläche des gekreuzten Giebeldachs habe ich auch gerade ausgerechnet, die besteht ja aus 4 Rechtecken minus 4 Dreiecken oder? Ich komme da auf

~ 306

DK2ZA aktiv_icon

21:29 Uhr, 30.03.2009

Das Volumen habe ich auch so.

Für die Oberfläche erhalte ich

O = 72 \cdot \sqrt{5} + 17 \cdot \sqrt{73} = 306,24495805

GRUSS, DK2ZA

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06:39 Uhr, 31.03.2009

Hallo,

ja genau für die Oberfläche hatte ich auch

~ 306

. Also eigentlich finde ich ist das gekreuzte Giebeldach das Leichteste der drei Dächer.

Vielen Dank

Gruß Shipwater

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