Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Herleitung des zentralen Differenzenquotienten

Herleitung des zentralen Differenzenquotienten

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Differenzenquotient

mathe-thommy aktiv_icon

18:15 Uhr, 22.11.2015

Guten Abend!

Ich soll folgende Aussage beweisen:

Wenn

f \in C^{2} (ℝ)

ist, dann gilt in beliebigem

x \in ℝ

\frac{f (x + h) - 2 f (x) + f (x - h)}{h^{2}} = f'' (x)

Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass man diesen Term als zentralen Differenzenquotienten zweiter Ordnung bezeichnen kann. Habt ihr einen Hinweis für mich, wie man diesen herleitet und auf welchem Wege ich diese Aussage beweisen kann?

Ich danke Euch für Eure Denkanstöße!

Beste Grüße
mathe-thommy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzenquotient für einfache Funktionstypen

Wie bestimmt man den Differenzenquotient für einfache Funktionstypen?

Steigung einer Geraden mit zwei gegeben Punkten

Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte?

abakus

18:45 Uhr, 22.11.2015

Hallo,
vielleicht hilft dir Folgendes weiter:

\frac{f (x - h) - 2 f (x) + f (x + h)}{h^{2}} = \frac{f (x - h) - f (x) + f (x + h) - f (x)}{h^{2}} = \frac{f (x + h) - f (x) - (f (x) - f (x - h))}{h^{2}}

= \frac{\frac{f (x + h) - f (x) - (f (x) - f (x - h)}{h}}{h} = \frac{\frac{f (x + h) - f (x)}{h} - \frac{f (x) - f (x - h)}{h}}{h}

Betrachte die Differenz der beiden Brüche im Zähler des letzten Doppelbruchs.
Sie steht, wenn h gegen Null geht für die Differenz zweier "benachbarter" Ableitungswerte f'(x) und f'(x-h).

mathe-thommy aktiv_icon

18:54 Uhr, 22.11.2015

Besten Dank für deine Antwort!

Die Umformung ergibt für mich Sinn. Mir ist jedoch noch nicht klar, wo hier der Bezug zu der zweiten Ableitung ist, wie es die Aufgabenstellung fordert. Warum definiere ich die zweite Ableitung über die Differenz zweier Werte der ersten Ableitung?
Die Differenz im Zähler erklärt vermutlich, warum der Differenzenquotient speziell als "zentraler" Differenzenquotient bezeichnet wird.
Muss ich hier zur Erklärung mit dem Mittelwertsatz arbeiten?

abakus

20:21 Uhr, 22.11.2015

Hallo,
wenn man eine erste Ableitung berechnen will, nimmt man von zwei "eng beieinander liegenden Funktionswerten die Differenz und teilt sie durch den "engen" Abstand h.
Wenn man eine ZWEITE Ableitung berechnen will, nimmt man demzufolge zwei eng beieinander liegende Werte der ERSTEN Ableitung und teilt deren Differenz durch den Abstand h der beiden Stellen.

mathe-thommy aktiv_icon

20:31 Uhr, 22.11.2015

Ein weiteres Mal: Danke Gast62! Jetzt ist mir die Bedeutung und Herleitung der Formel klar.
Nun zu der Frage nach dem Beweis, dass diese Formel für alle zwei Mal differenzierteren Funktionen gilt? Ist der Beweis mit dem Verfahren der Induktion möglich?

pwmeyer aktiv_icon

08:31 Uhr, 24.11.2015

Hallo,

Du hast in Deiner Aussage einen Grenzwert vergessen, es gilt nicht Gleichheit.

Die Standarmethode für den Beweis wäre die Benutzung der Taylorformel für die Terme

f (x + h)

und

f (x - h)

.

Gruß pwm

mathe-thommy aktiv_icon

10:04 Uhr, 24.11.2015

Danke, pwmeyer!

Könnte ein Ansatz für die Taylorentwicklung (im Punkt

x)

dann so aussehen?

T (x) = f (x + h) + \frac{f' (x + h)}{2!} \cdot {(x - (x + h))}^{2} + \frac{f'' (x + h)}{3!} \cdot {(x - (x + h))}^{3} + ...

?

Wie komme ich von dieser Darstellung hin zu dem oben erwähnten zentralen Differenzenquotienten? Für einen weiteren Tipp wäre ich sehr dankbar!

Beste Grüße!

pwmeyer aktiv_icon

10:07 Uhr, 24.11.2015

Hallo,

umgekehrt:

f (x + h) = f (x) + f' (x) \cdot h + 0.5 \cdot f'' (x + s \cdot h) \cdot h^{2}

mit

s \in [0,1]

.

Gruß pwm

mathe-thommy aktiv_icon

18:52 Uhr, 24.11.2015

Guten Abend!

Ich habe also die beiden folgenden Taylorentwicklungen:

f (x + h) = f (x) + f' (x) \cdot h + 0.5 \cdot f'' (x + s \cdot h) \cdot h^{2}

f (x - h) = f (x) + f' (x) \cdot h + 0.5 \cdot f'' (x - s \cdot h) \cdot h^{2}

mit s∈

[

0,1]. Wie verbinde ich diese beiden Formeln nun, um den Differenzenquotienten zweiter Ordnung zu erhalten? Muss ich die Taylorentwicklungen in den Differenzenquotienten erster Ordnung einsetzen und dann umformen?

Beste Grüße
mathe-thommy

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1270937

1270394

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?