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Hintereinanderausführung Drehung ist Spiegelung?

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Abbildung, Drehung, Isometrie, Sonstig, spiegelung, Symmetrie, Symmetrieachse, symmetrisch, Translation

UltraVio aktiv_icon

15:09 Uhr, 21.04.2019

Ich habe dieses Semester Geometrie und habe wirklich kein Plan wie ich dieses erste Übungsblatt lösen soll.
Ich weiß nicht wie ich die Frage beantworten soll.

(i)

Zeigen Sie, dass die Hintereinanderausführung einer Drehung und einer Spiegelung
an einer Achse durch den Drehpunkt wieder eine Spiegelung ist. (Hinweis: eine
Drehung kann man als Hintereinanderausführung von zwei (geeignet gewählten!)
Geradenspiegelungen auffassen.)
(ii) Zeigen Sie, dass die Hintereinanderausführung einer Rotation und einer Translation
eine Rotation ist. (Hinweis: siehe oben.)
(iii) Untersuchen Sie, welche der obigen Hintereinanderausführungen kommutativ sind.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln
Parallelverschiebung
Spiegelung Punkt an Ebene
Spiegelung Punkt an Gerade
Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

17:26 Uhr, 21.04.2019

Hallo
1. experimentiere erstmal mit einem Punkt, den du drehst und spiegelst usw.
2. wie stellt ihr bisher Drehungen und Spiegelungen dar, kannst du den Formalismus einfach hintereinander ausführen?
Gruß ledum

UltraVio aktiv_icon

00:57 Uhr, 23.04.2019

Ich habe Probleme dabei die Fragestellung zu verstehen.

ZU Aufgabe

(i)

.
Im Skript steht.

f : R 2

−→

R 2, (x, y)

7→

(x,

−y ) ist eine Spiegelung eines Punktes an einer Achse.
Wenn ich einen Punkt an einer Achse zwei Mal Spiegele habe ich die selbe Position wieder oder?

Habe ich somit gezeigt das es eine SPiegelung ist.

Bei einer Drehung hat man ja auch irgendwann wieder die Anfangsposition.

ledum aktiv_icon

11:41 Uhr, 23.04.2019

Hallo
Dass 2 mal spiegeln an derselben Geraden wieder die Identität gibt ist richtig, aber hat nichts mit aufgäbe

i

zu tun.
Du sollst doch zeigen, dass eine Drehung und anschließende Spiegelung dasselbe sind wie eine Spiegelung an einer anderen Achse. Du hast nur die einfachste Spiegelung an der

x -

Achse hier genannt, ich hatte dir geraten, mal zu zeichnen. also

z, B,

drehen um 60°, dann spiegeln an irgendeiner Geraden durch

0, (

kann auch mal die

x

Achse sein) fesseln dass man das auch durch eine Spiegelung (woran) erreichen kann.
Habt ihr denn die Spiegelung an einer beliebigen Achse durch 0 irgendwie beschrieben? und die Drehung um

(0,0),

habt ihr den Hinweis"eine Drehung kann man als Hintereinanderausführung von zwei (geeignet gewählten!) Geradenspiegelungen auffassen.)" bewiesen? oder kannst du es beweisen.
Du musst schon sagen, von was du ausgehen kannst um die aufgaben zu lösen.
Gruß ledum

UltraVio aktiv_icon

02:18 Uhr, 24.04.2019

Okey ich habe es schon bisshen verstanden. Ich habe es ausprobiert. Meine Antwort wäre eine Spiegelung durch eine Gerade die durch den Ursprung geht.

Wie kann man das den zeigen.

Im Skript finde ich sehr viel zu Isometrie, Translation, Rotation aber nichts zu Spiegelung. Also nichts wo es einfach beschrieben wird außer das.

f : R 2

−→

R 2, (x, y)

→

(x,

−y ) und

g : R 2

−→

R 2, (x, y)

→

(y, x)

UltraVio aktiv_icon

12:42 Uhr, 24.04.2019

Proposition 7. Wenn

f : R 2

−→

R 2

und

g : R 2

−→

R 2

zwei Isometrien sind,
dann ist die Hintereinanderausführung

h := f

◦

g

auch wieder eine Isometrie.

Definition 3. Eine Translation ist eine Funktion der Form

t_{a, b} : R 2

−→

R 2

; (x, y)

→

(x + a, y + b)

für feste

a, b

∈ R.

Definition 5. Eine Rotation (um den Ursprung) ist eine Transformation der
Form

r_{c, s} : R 2

−→

R 2

(x, y)

→ (cx−sy, sx+cy) für feste

c, s

∈

R

mit c²

+ s = 1

.

Diese Definitionen habe ich noch im Skript gefunden.

ermanus aktiv_icon

12:26 Uhr, 25.04.2019

Hallo,
Die Vektoren der Spiegelungsachse bleiben bei einer Spiegelung fix,
Vektoren senkrecht dazu werden umgedreht.
Sei also

(c, s)^{T}

einer der beiden Einheitsvektoren (, also

c^{2} + s^{2} = 1

) in Richtung der
Spiegelungsachse. Dann ist

(- s, c)

ein Einheitsvektor senkrecht zu Spiegelungachse.
Für die Matrix

A

, die die Spiegelung

x \mapsto A (x, y)^{T}

beschreibt,
muss also gelten
1.

A (c, s)^{T} = (c, s)^{T}

und
2.

A (- s, c)^{T} = - (- s, c)^{T} = (s, - c)^{T}

Nun setze die gesuchte Matrix an als

A = (\begin{array}{cc} u & v \\ w & x \end{array})

.
Die beiden Bedingungen 1. und 2. liefern dir dann ein Gleichungssystem
für

u, v, w, x

.
Wenn ich das löse, bekomme ich

A = (\begin{array}{cc} c^{2} - s^{2} & 2 c s \\ 2 c s & s^{2} - c^{2} \end{array})

.
Dies ist die Spiegelungsmatrix für eine Spiegelung an der

(c, s)^{T}

-Achse.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

13:23 Uhr, 25.04.2019

Wir können das Ganze auch noch ein bisschen anschaulicher herleiten.
Die Spiegelungsachse habe den Winkel

α

zur

x - A c h s e

,
Dann ist ja gerade der Richtungseinheitsvektor

(c, s)^{T} = (\cos (α), \sin (α))^{T}

.
Wir drehen nun die Ebene um den Winkel

- α

,
so dass die Spieglungsachse dabei in die

x

-Achse gedreht wird.
Das entspricht der Dreh-Matrix

R (- α) = (\begin{array}{cc} \cos (- α) & - \sin (- α) \\ \sin (- α) & \cos (- α) \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (α) & \sin (α) \\ - \sin (α) & \cos (α) \end{array})

Nun spiegeln wir einfach an der

x

-Achse mit der Abbildung

(x, y)^{T} \mapsto (x, - y)^{T}

.
Dies tut die Matrix

S_{x} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) .

Schließlich drehen wir die Ebene um den Winkel

α

wieder in die Ausgangslage zurück:

R (α) = (\begin{array}{cc} \cos (α) & - \sin (α) \\ \sin (α) & \cos (α) \end{array})

.
Der Spiegelung entspricht also die Matrix

R (α) \cdot S_{x} \cdot R (- α)

, und das ist die Matrix, die ich im vorigen Beitrag
angegeben habe.

ermanus aktiv_icon

16:28 Uhr, 25.04.2019

Noch ein Beitrag bzgl. der geometrischen Eigenschaften
von Spiegelungen:
Die Einträge von

A

sind bis auf etwaige Vorzeichen

\cos^{2} (α) - \sin^{2} (α)

und

2 \sin (α) \cos (α)

, wenn

α

der Winkel der Spiegelungsachse zur

x

-Achse ist.
Insbesondere der zweite Ausdruck schreit danach, die
trigonometrischen Doppelwinkelformeln anzuwenden:

\cos (2 α) = \cos^{2} (α) - \sin^{2} (α)

und

\sin (2 α) = 2 \sin (α) \cos (α)

.
Damit bekommt die Matrix der Spiegelung

s_{α}

an der "

α

-Achse"
die Gestalt

A = (\begin{array}{cc} \cos (2 α) & \sin (2 α) \\ \sin (2 α) & - \cos (2 α) \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 α) & - \sin (2 α) \\ \sin (2 α) & \cos (2 α) \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array})

.

Das bedeutet, dass man die Spiegelung so erhalten kann:
Spiegelung

s_{0}

der Ebene an der

x

-Achse, gefolgt von einer
Drehung der Ebene um den Winkel

2 α

, also:

s_{α} = r_{2 α} \cdot s_{0}

,

wobei

r_{φ} = R (φ)

die Drehung der Ebene um den Winkel

φ

bezeichnet.

ermanus aktiv_icon

16:44 Uhr, 25.04.2019

Nun zu (i):
Sei

r_{β} \cdot s_{α}

die Hintereinanderausführung
einer Spiegelung und einer Drehung. Dann haben wir

r_{β} \cdot s_{α} = r_{β} \cdot r_{2 α} \cdot s_{0} =

= r_{β + 2 α} \cdot s_{0} = r_{2 (β / 2 + α)} \cdot s_{0} = s_{2 (β / 2 + α)}

,
also eine Spiegelung an der Spiegelungsachse zum Winkel

\frac{β}{2} + α

.

Das alles kann man natürlich viel einfacher haben,
wenn man weiß, dass die Drehungen um 0 Isometrien der Determinante 1
und Spiegelungen an Achsen durch 0 Isometrien mit der Determinante -1 sind
und man die Multiplizität der Determinanten verwendet.
Leider hält der Fragesteller wohl gewisse Kenntnisse aus der
Vorlesung vor uns geheim ;-)

UltraVio aktiv_icon

17:53 Uhr, 05.05.2019

Danke für eure Antworten hat mir wirklich geholfen.

UltraVio aktiv_icon

17:53 Uhr, 05.05.2019

Danke für eure antworten haben mir wirklich viel weitergeholfen.

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