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Hoch-/Tiefpunkte von Winkelfunktion?
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Extremwerte
Tags: Extremwert
 
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Hallo! Ich habe da eine Frage. Sind Wendepunkte dasselbe wie Hoch- und Tiefpunkte? Wenn ich eine Winkelfunktion habe, . oder irgendwas anderes, wie kann ich dann die Hoch bzw. Tiefpunkte, oder Wendepunkte?, berechnen? Wenn ich mir eine normale Sinuskurve anschaue mit dann hab ich doch unendliche Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte, oder? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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...nein, denn wie der Name schon sagt handelt es sich um verschiedene Punkte.
...ein Hochpunkt ist ein lokales Maximum...lokal desshalb, weil es nur in einem begrenzten Bereich der höchste Punkt ist...das heißt, der unmittelbare Punkt davor und danach liegen tiefer! Hochpunkte liegen somit immer auf konkaven Kurvenelementen (Rechtskurve für größer werdende x)...damit MUSS der Anstieg immer kleiner werden...Der Anstieg muss vor dem Hochpunkt positiv...im Hochpunkt 0 (waagerecht) und nach dem Hochpunkt kleiner als 0 sein! Damit gilt für den Hochpunkt, das die Ableitung ist, und die 2. Ableitung kleiner als ...ein Tiefpunkt ist ein lokales Minimum...lokal desshalb, weil es nur in einem begrenzten Bereich der tiefste Punkt ist...das heißt, der unmittelbare Punkt davor und danach liegen höäher! Tiefpunkte liegen somit immer auf konvexen Kurvenelementen (Linkskurve für größer werdende x)...damit MUSS der Anstieg immer größer werden...Der Anstieg muss vor dem Hochpunkt negativ...im Hochpunkt 0 (waagerecht) und nach dem Hochpunkt größer als 0 sein! Damit gilt für den Hochpunkt, das die Ableitung ist, und die 2. Ableitung größer als ...sollte die 2. Ableitung dieser Werte mal genau 0 sein, so handelt es sich nicht um ein Hoch- oder Tiefpunkt, sondern um einen Sattelpunkt! Hier erfolgt genau an diesem Punkt der Wechsel von konkaver in konvexer Kurvenform, oder umgekehrt. Die Ableitungen in unmittelbarer Nähe der Sattelpunkte bleiben positiv oder negativ, nur der Sattelpunkt hat den Anstieg ...auch beim Wendepunkt erfolgt der Wechsel von konkav nach konvex, oder umgekehrt. (Der Sattelpunkt ist ein Spezialfall des Wendepunktes) Die 2. Ableitung des Wendepunktes MUSS Null sein! (So ja auch beim Sattelpunkt!) Dies ist verständlich, da der Wendepunkt ja ein Minimum oder Maximum des jeweiligen Anstiegs darstellt . und Extrema eines Anstieges ist das Extrema einer Ableitung, und damit muss die 2. Ableitung 0 werden... ...so, das sollte erstmal reichen, oder? ;-) |
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Wow, eine so schnelle und so einwandfreie Antwort. Tausend Dank! Nur um zu überprüfen, ob ich das dann richtig verstanden habe, habe ich eine kleine Zeichnung in Paint gemacht, freihändig, also bitte nicht auf die Qualität achten. Der höchste Punkt ganz rechts ist das der Hochpunkt, den ich mit erhalte? Und niedrigste Punkt ganz rechts ist das der Tiefpunkt, den ich mit erhalte? Alle anderen Punkte sind Wendepunkte, die ich mit erhalte? Und sowohl der Hochpunkt als auch der Tiefpunkt sind gleichzeitig Wendepunkte? Dankesehr! :-)  |
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Nein, das ist so nicht richtig. Alle Berggipfel auf deiner Zeichnung sind lokale Hochpunkte mit der Steigung Null (1.Ableitung=0) und alle Täler dazwischen haben jeweils einen lokalen Tiefpunkt ebenfalls mit der Steigung Null. Die Wendepunkte sieht man in deiner Zeichnung nur schwer. Aber zwischen jedem Hochpunkt und dem nächsten Tiefpunkt (oder umgekehrt) liegt ein solcher Wendepunkt, an welchem die Krümmung der Kurve wechselt. Stell dir mal vor, die gezeichnete Kure wäre eine Straße, auf der du mit dem Auto von links kommend entlangfährst. Zunächst müsstest du nach links lenken, um auf der Straße zu bleiben, aber um den ersten Gipfel zu erreichen, müsstest du irgendwann nach rechts lenken. Genau an der Stelle, wo du weder nach rechts, noch nach links lenkst, ist der Wendepunkt. Verstehst du er so? |
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Hallo, Also.. ein Wendepunkt ist immer vor oder nach einem Hoch- bzw. Tiefpunkt? Kann ich dann also wirklich mit der 1. Ableitung ALLE Hoch-/Tiepunkte herausbekommen? Mir fällt außer der Winkelfunktion keine andere Funktion ein, aber von Sin(x) ist ja die 1. Ableitung. Die Nullstellen von also die Hoch/Tiefpunkte sind ja dann 0,5PI, 1,5PI,2,5PI usw. von ist die zweite 2. Ableitung doch also Nullstellen (=Wendepunkte) sind dann PI,2PI,3PI,4PI. Und genau so klappt das bei allen Funktionen, die vielleicht nicht unendliche Hoch-und Tiefpunkte haben, aber sagen wir Stück? Dann würde ich tatsächlich Nullstellen herausbekommen? Und was vorher schon gesagt wurde, wenn die 2. Ableitung mit der Nullstelle der 1. Ableitung ergibt, dann habe ich einen Terassenpunkt? |
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...Jede Nullstelle einer Ableitung steht wie schon beschrieben für einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt!.
Es geht . aber auch ohne lokale Extrema, stell dir doch mal eine Funktion wie eine Treppe vor, also wie eine um 45° gedrehte Sinus-funktion....diese läuft von links unten nach recht oben....hat keine lokalen Extrema...wohl aber Sattlepunkte (periodich) in denen der Anstieg 0 ist. Um also rauszubekommen, ob es sich auch um Extrema handelt, musst du von diese Werten die 2. Ableitung bilden. Bei Sattelpunkten ist sie, wie bei jedem Wendepunkt, gleich Bei Extrema bkommst du für die 2. Ableitungen Werte ungleich Jetzt mal konkret zu deinem Beispiel: Überall dort, wo haben wir einen Anstieg von 0 auf der Sinusfunktion. für an diesen Stellen sind nun Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte (der Sinusfunktion!!). Das prüfen wir jetzt mit der 2. Ableitung. Diese ist Da der Sinus für diese Werte immer 1 oder ist (im Wechsel) ist auch die 2. Ableitung mit immer oder 1 (im Wechsel)...aber niemals also liegen keine Sattelpunkte vor, sondern Hochpunkte dort, wo kleiner also in unserem Fall und Tiefpunkte dort, wo größer also in unserem Fall 1 ist. ;-) |
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