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Wendepunkt zwischen Extrema

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Extrempunkt, Funktionsschar, halbieren, Wendepunkt

zahlenkotze aktiv_icon

18:55 Uhr, 11.11.2010

Hey Leute,
ich soll zeigen, dass der Wendepunkt der Funktionenschar fk(x)= x³-kx² die Strecke zwischen den Extrempunkten der Funktionenschar halbiert. Habe jetzt den Wendepunkt ausgerechnet, der bei x= 1/3k und y=-(2/27)k³ liegt. Ich weiß nun leider überhaupt nicht weiter. Muss ich auch die Extrempunkte berechnen?

Hoffe auf positive Rückmeldungen,

Gruß Nika

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

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Niclas aktiv_icon

19:32 Uhr, 11.11.2010

zuerst einmal, kann an deiner Funktion, die du gepostet hast, eine sache nicht stimmen...
Diese Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabel und kann daher keinen hochpunkt haben.

BjBot aktiv_icon

19:35 Uhr, 11.11.2010

@ kotze

Setze

x

mit der x-Koordinate des Hochpunktes gleich und löse diese Gleichung nach a auf.
Setze dann den Term für

a

in die y-Koordinate des Hochpunktes ein.

zahlenkotze aktiv_icon

19:38 Uhr, 11.11.2010

es sind auch die hochpunkte dieser Funtionenschar

- \frac{1}{18} x^{4} + \frac{a}{3} x^{3}

. und ich soll zeigen, dass diese hochpunkte aller kurven auf dem graphen mit der gleichung

y = \frac{1}{54} x^{4}

liegen. sorry für die undeutlichkeit.

zahlenkotze aktiv_icon

19:46 Uhr, 11.11.2010

Sorry, mein Hochpunkt ist

(\frac{4,5}{7,595} a^{4})

Tut mir leid mein Pc hatte gerade sonen Problem.

zahlenkotze aktiv_icon

19:48 Uhr, 11.11.2010

Also beim Hochpunkt:

X = 4,5

und

y = 7.595 a^{4}

weiß nich warum das so komisch aufgeschrieben wurde.

BjBot aktiv_icon

19:51 Uhr, 11.11.2010

Nicht eher

x = 4,5 a

zahlenkotze aktiv_icon

19:53 Uhr, 11.11.2010

Danke für die Korrektur, war nur so ein Flüchtigkeitsfehler. Aber muss natürlich

4,5 a

heißen.

Niclas aktiv_icon

19:55 Uhr, 11.11.2010

Jetzt ist es relativ einfach:
Du ahst die Koordinate

x = 4,5 a

wenn du dass jetzt nach a umstellst und in deine funktionsschar einsetzt, erhälst du die Ortskurve!
Die ortskurve gibt dann die lage aller Hochpunkte an und müsste demnach

\frac{1}{54} x^{4}

betragen!

BjBot aktiv_icon

19:56 Uhr, 11.11.2010

Dann berechne mal

x^{4}

für dein

x = 4,5 a

und setze das in

y = \frac{1}{54} x^{4}

ein und schau was dann rauskommt.

Niclas aktiv_icon

20:14 Uhr, 11.11.2010

x = 4,5 a

a = \frac{x}{4,5}

f (x) a = - \frac{1}{18} x^{4} + \frac{a}{3} x^{3}

Nun setzt du den Wert für

a

in deine Funktionsschar ein. Dadurch erhälst du die Ortskurve. Diese zeigt dir, wo sich die jeweiligen Hochpunkte zum a befinden.

o (x) = - \frac{1}{18} x^{4} + \frac{\frac{X}{4,5}}{3} \cdot x^{3} = - \frac{1}{18} x^{4} + \frac{x^{4}}{13,5} = \frac{1}{54} x^{4}

Da hast du den Beweis dafür, dass alle Hochpunkte der Funktiionsschar auf

o (x) = \frac{1}{54} x^{4}

liegen!

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