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Höhengerade im Dreieck [lineare Funktion]
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Gerade, Gleichungen, Höhengerade, Lineare Funktionen
 
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Hallo, mir wurde folgende Aufgabe gestellt: A (-2; -1), B (6; -3) und C ( -2; 5) sind Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme für dieses Dreieck die Gleichung für: die Höhengerade durch a Vielen Dank für eure Hilfe ! |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ebene Geometrie - Einführung Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) |
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Die gesuchte Höhengerade hat die Eigenschaft, dass sie mit der Dreiecksseite a einen Lotpunkt bildet und ausgehend von diesem Punkt in C endet. Außerdem steht die Höhengerade senkrecht auf a. Um diese beiden Eigenschaften in einem Gleichungssystem auszudrücken, wird zunächst die Geradengleichung der Seite a bestimmt: B-A= (8/-2) Mit A als Aufpunkt: a=(-2/-1)+?(8/-2) Geht man vom Lotpunkt aus, führt der Richtungsvektor von h (h1/h2) zum Punkt C: (1) (-2/-1)+?(8/-2)+(h1/h2)=(-2/5) Der Richtungsvektor von h ist Normalenvektor von a: (2) 8h1-2h2=0 Zu lösen ist also das Gleichunssystem: 1) -2+8?+h1=-2 2) -1-2?+h2=5 (<=> ?=-3+0,5h2) 3) 8h1-2h2=0
3) <=> h2=4h1 In 2): -1-2?+4h1=5 Gleichung mit 4 multiplizieren: -4-8?+16h1=20 Gleichungen 1) und 2) addieren, um ? zu eliminieren: -6+17h1=18 <=> h1= 24/17 h2=4*24/17=96/17 ?=-3+0,5*96/17 = -3/17
Der Lotfußpunkt (gleichzeitig Aufpunkt der Geraden ) ist: a=(-2/-1)-3/17*(8/-2)=(-58/17,-11/17).
Die Höhengerade lautet damit: h= (-58/17,-11/17)+?*(24/17,96/17)
Gruß, Robbie Sorry, ich sehe gerade, dass ich die falsche Seite genommen habe. Du musst natürlich die Höhe bestimmen, die auf BC senkrecht steht. Der Lösungsweg ist aber genau derselbe: Gleichungssystem aufstellen, Richtungsvektor der Höhengerade und Lotfußpunkt bestimmen.
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Danke für deine ausfühliche Lösung, Robert. Nur das Problem ist, dass wir noch keine Vektorrechner behandelt haben. Die Aufgabe soll auf Basis linearer Funktionen gelöst werden. |
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Ich schau mal, wie man das alternativ lösen kann. Ich bin so an Vektorrechnung gewöhnt, dass ich erst einmal überlegen muss, wie das sonst zu behandeln ist.
Ich melde mich noch mal.
Gruß,
Robbie |
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Hallo, davon abgesehen, daß Robert hier mit Kanonen gegen Spatzen schießt, ist die Seite a nicht die Seite, zu der die Punkte A und B gehören. Das Ergebnis, mühsam erzeugt, muß somit falsch sein. Die Seite a verläuft zwischen B und C und man ermittelt nicht die gesamte Gerade sondern nur den Ansttieg der geraden durch die Punkte: (y_b - y_c)/(x_b - x_c) = (-3 - 5)/(6 - (-2)) = (-8)/8 = -1 Hat man zu einer Geraden den Anstieg m, dann ist der Anstieg der dazu senkrechten Gerade -1/m, in unserem Fall: -1/(-1) = 1 Also hat die Höhengerade den Anstieg 1. Sie geht auch noch durch A, also: -1 = 1*(-2) + n -1 = -2 + n 1 = n Die Höhengerade lautet: y = x + 1 |
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Hallo, davon abgesehen, daß Robert hier mit Kanonen gegen Spatzen geschossen hat, hat er die Parallele der Höhenlinie der Seite c (Ausgangspunkt: Gerade durch A und B; Orthogonale Gerade dazu, aber nicht durch C sondern durch A gehen lassen) erechnet! Richtig wäre die Gerade durch B und C zu ermitteln, d.h. es reicht der Anstieg dieser Geraden: (y_b - y_c)/(x_b - x_c) = (-3 - 5)/(6 - (-2)) = (-8)/8 = -1 Die Höhengerade hat den zum Anstieg m orthogonalen Anstieg -1/m: -1/(-1) = 1 Jetzt geht die Höhengerade noch durch A: -1 = 1*(-2) + n -1 = -2 + n 1 = n Höhengeradengleichung: y = x + 1 |
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Hallo mqqq,
ich hatte vorhin, wie m-at-he es so schön plastisch und treffend ausdrückt "mit Kanonen auf Spatzen geschossen" und viel zu kompliziert gedacht. Seine Lösung ist natürlich die eleganteste und einfachste und absolut richtig. Auerdem hatte ich Dir die falsche Höhe "unterschieben wollen", die Höhengerade zu c statt a. Zumindest in diesem Punkt, m-at-he, hatte ich mich aber auch so gleich berichtigt. Viele Grüße Euch beiden Robbie |
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| mhh , ok ein wenig habe ich schon verstanden, werde mich morgen nochmals genaustens damit befassen. Es wäre mir dennoch eine große Hilfe, wenn ihr mir eine Skizze einer Höhengerade mit Dreieck erstellen könntet (muss nicht genau sein), da ich mir diese Höhengerade nicht wirklich "vorstellen" kann . |
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Hallo moqqq, ich hab leider nicht die beste Verbindung und mein Rechner stürzt beim Versuch Dir eine kleine Skizze zu senden immer ab. Grundsätzlich: Die zu einer Seite gehörende Höhe ist einfach nur eine Gerade, die auf der Seite senkrecht steht und in den gegenüberliegenden Dreieckspunkt mündet. Die Höhe liegt meistens im, gegebenenfalls aber auch einmal außerhalb des Dreiecks. |
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Stelle ich es mir so korrekt vor ? |
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Hallo Robert, als ich die Aufgabe gesehen und begonnen habe zu bearbeiten, stand der letzte Absatz von Dir noch nicht da und der letzte Eintrag war, daß der Fragesteller die Vektorlösung nicht wirklich gebrauchen konnte. Mein Versuch meine Lösung anzugeben scheiterte zunächst, d.h. ohne jede Fehlermeldung erschien nach meinem "Antwort"-Tastendruck die Aufgabe mit Deiner Ergänzung, Dir eine andere Lösung zu überlegen. Ich möchte nicht wetten, aber Deine Ergänzung zum vorherigen Thread habe ich dabei noch nicht bemerkt. Ich habe aus Erfahrung meine Lösung zuvor in den Zwischenspeicher geladen, so daß ich ohne viel Mühe meine Antwort erneut (und ohne Änderungen) einfügen konnte. Ich gehe also davon aus, daß sich Deine und meine Aktivität überschnitten haben. Ich konnte so gar nicht auf Deine "Korrektur" eingehen! Auch ist Deine Angabe, die Höhenlinie durch C ermittelt zu haben nicht korrekt, Du hast wie von mir bereits geschrieben eine Parallele dazu ermittelt. Die Richtung hast Du von der Höhenlinie durch C genommen, als Punkt aber A und nicht C gewählt. Also nur eine Parallele! |
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Hallo moqqq, Deine Zeichnung ist genau richtig, so sieht i.A. eine Höhe aus! (Wie gesagt es kann auch einmal der Fall auftreten, dass eine Höhe außerhalb des Dreiecks liegt.) Gruß, Robbie |
