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Homogene Koordinaten

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Aufgabe, homogene Koordinaten, Punkt, Vektor, Vektorraum

Alex567 aktiv_icon

18:44 Uhr, 06.03.2014

Hey leute,
ich habe hier eine Aufgabe gefunden (Ich und mein Kumpel) sitzen gerade dran und keiner von uns weiß wie wir das angehen sollen.

Stellen Sie

(x, y, z)

als Vektor und als Punkt dar:

| x |

| y |

Vektor

| z |

| . .

. |

| x |

| y |

Punkt

| z |

| . .

. |

B :

Es seien

p 1, p 2

Punkte und

v 1, v 2

Vektoren.
Kreuzen Sie an, ob das Ergebnis

r

der nachfolgenden Rechnung
ein Punkt, ein Vektor oder nicht definiert ist:

r = v 1 + v 2

r = p 1 + v 2

r = p 1 + p 2

r = \frac{1}{2} \cdot p 1 + \frac{1}{2} \cdot p 2

r = v 1 + p 2 + v 2

Ich kenne den Begriff Homogen nur im zusammenhang von Matritzen wenn die lösungen der Gleichungen immer 0 lauten. Ich hoffe jemand kann mir da helfen ;-)

Mit freundlichen Grüßen,
Alex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

oculus aktiv_icon

18:41 Uhr, 07.03.2014

Hallo,

Der dreidimensionale Punktraum besteht aus Punkten. Jedem Punkt

P

kann man

(z . B

. bei vorgegebenem kartesischem Koordinatensystem) eineindeutig ein Koordinatentripel

(\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix})

oder auch

(x 1, x 2, x 3))

zuordnen. Im "affinen Raum" gibt es nun neben den Punkten "freie Vektoren", so dass – genauer gesprochen, der affine dreidimensionalen Raum aus dem dreidimensionalen Punktraum plus dem dreidimensionalen Vektorraum besteht. Dabei, so meine Erinnerung aus dem Schulunterricht, unterschied man zwischen Ortvektoren

(d . h

. den Punkten) und den freien Vektoren, wobei die Koordianten sowohl der Punkte als auch der freien Vektoren als Koordinatentripel mitgeteilt wurden und man sie danach nicht unterscheiden konnte, obwohl es sich dabei um verschiedene Objekte handelt.
Dass man freie Vektoren des Vektorraums

ℝ^{3}

addieren kann, weißt du. Dass man einen freien Vektor an einen Ostvektor (also einen Punkt) "anknüpfen" kann, ist auch klar.
Als Beispiel sei

P = (1, 3, - 3)

ein Punkt und

Q = (2, 5, 8)

ein weiterer Punkt. Die "Addition"

P + Q

würde keinen Sinn machen, wohl aber die Addition des Punktes

P

mit dem Vektor

v = (2, 5, 8),

wenn man nämlich den Vektor als Verschiebung des Punktes

P = (1, 3, - 3)

zum Punkt

P + v = (3, 8, 5)

deutet.
Man erreicht nun das Auseinanderhalten von Ortsvektoren bzw. Punkten von freien Vektoren, indem man den Koordinatentripeln eine 4. Koordinate hinzufügt und zwar eine

O

bei freien Vektoren und eine 1 bei den Punkten. Im obigen Beispiel bekommen also die Punkte

P

bzw.

Q

die Koordinatenquadrupel

(1, 3, - 3, 1)

und

(2, 5, 8, 1)

zugeordnet, wohingegen die freien Vektoren

v

und

w

die Koordinaten

(2, 5, 8, 0)

bzw.

(0, - 7, 8, 0)

hätten.
Und jetzt gibt

P + v

einen Sinn:

P + v = (1, 3, - 3, 1) + (2, 5, 8, 0) = (3, 8, 5, 1),

und wie du siehst, ist

p + v

genau der durch die vierte Koordinate 1 erkennbare Punkt, den man durch Antragung des Verschiebungsvektors

v

erhält.
Ist andererseits

w = (0, - 7, 8, 0)

ein freier Vektor, dann ist

v + w = (2, 5, 8, 0) + (0, - 7, 8, 0) = (2, 5, 16, 0)

als Summe zweier freier Vektoren offenbar wieder, wie es sein muss, ein freier Vektor.
Mit Hilfe dieser "Homogenisierung" der bisherigen Koordinaten kann man also in unserem Anschauungsraum zwischen dem Punktraum Pk und dem mit ihm verbundenen Vektorraum

V

der Verschiebungsvektoren unterscheiden, wobei offenbar folgende Bedingungen erfüllt sind
1. Jedem Paar

(x

aus

V, P

aus Pk) ist eindeutig der Punkt

x + P

aus Pk zugeordnet
2.

(x + y) + P = x + (y + P)

für alle

x, y

aus

V

und alle

P

aus Pk
3.

o + P = P

für alle

P

aus Pk (

o

soll der Nullvektor sein)
4. Zu jedem Punktepaar

P, Q

aus Pk gibt es genau ein

x

aus

V

mit

x + P = Q

.

Jetzt müsstest du die Aufgabe verstehen und lösen können.

Gruß

oculus

Alex567 aktiv_icon

22:33 Uhr, 07.03.2014

Hallo,
vielen dank für deine Erklärung. Das weiß ich zu schätzen, danke.
Ich habe noch ein paar Fragen :

Also die erste aufgabe lautete ja

r = v 1 + v 2

Also

r = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 0 \end{matrix});

r = (\begin{matrix} x 1 + x 2 \\ y 1 + y 2 \\ z 1 + z 2 \\ 0 + 0 \end{matrix})

Da ja das Ergebnis der vierten koordinate eine 0 ist, müsste es also wieder ein Vektor sein?

Und bei

r = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix})

Kommt ja in der vierten koordinate wieder eine 1 raus, also wäre das auch ein Punkt? Oder irre ich mich total und hab es nicht verstanden? Sorry wenn ich es nicht ganz verstehe habe schon lange kein Mathe mehr gemacht und versuche reinzukommen.

Bin für jede Hilfe dankbar.

Gruß,
Alex

oculus aktiv_icon

23:03 Uhr, 07.03.2014

Die Multiplikation zweier freier Vektoren in deinem Beispiel ist korrekt durchgeführt.

Die Addition zweier Punkte sowie die Multiplikation eines Punktes mit einer Zahl sind nicht definiert. Was für einen Sinn soll auch die Addition von Punkten bzw. die Multiplikation eines Punktes mit einer Zahl haben ??

Insofern sind nur

v 1 + v 2

und

p 1 + v 2

sinnvoll,

p 1 + p 2

und

\frac{1}{2} \cdot p 1 + \frac{1}{2} \cdot p 2

dagegen nicht.
Bei

v 1 + p 2 + v 2

bin ich selbst im Zweifel, neige aber auch hier dazu, dass diese Summenbildung nicht zulässig ist.

Im Übrigen sehe ich gerade, dass bei den unter den Nummern Nr. 1. bis 4. geschriebenen Summen, das

P

(für "Punkt") der erste und nicht der letzte Summand sein müsste.

Vielleicht kann ein anderes Forum-Mitglied dir noch besser weiterhelfen.

Gruß

oculus

aleph-math aktiv_icon

23:04 Uhr, 08.03.2014

Gu. Abend!

Diese "Homogenisierg." halte ich für recht gekünstelt. Als ich in d. Schule ging ('70er J.), wurde Pkt (=Ortsvektor!) & "freie" Vek. in d. Notation nicht unterschieden, höchst. d. Einen (Pkt) durch Zeilenvek., d. Anderen durch Spaltenvek. D. Tupeldarstell. ist keine *Defin.*, sond. eben nur eine v. Koord.sys. abhäng. *Darstellg.* (and. gesagt, Vektoren *sind* KEINE Tripel (o. Bipel, Quadrupel etc., je nach Dimens.), sie *sehen* nur (glgt.) so aus). Trotzd. (evt. auch grad desh.) ist (zumind. f.d. "prakt." Arbeit damit) m.M. keine Unterscheid. nötig.

Wenn man Vekt. als gerichtete Strecken auffasst/defin., sind "Pkte" einfach d. Enden solcher, v. Ursprung ausgeh., Strecken. Mathem. sind Vektoren d. Elemente eines Vektorraums (über einem entspr. Körper), praktisch/physik. sind sie d. Verbindung v. Pkt zu Pkt.
So ist d. Addit. Pkt + Vektor durchaus sinnvoll, zumal "Pkt." ja nur eine and. Bezeichn. f. "Ortsvektor" ist, Ergeb. ist wieder ein Pkt.

Zu d. einz. Operationen würd ich folg. Antw. geben:
a)

{\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} = \vec{v}

, Vektor;
b)

{\vec{p}}_{1} + {\vec{v}}_{2} = {\vec{p}}_{2}

, Pkt.; das ist zB. d. Fall bei Geraden:

\vec{x} = \vec{a} + t \vec{u}

; also Stützpkt+(Vielf.)Richt.vek.=Gerad.pkt;
c)

{\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = \vec{q}

, Pkt; p2 ist d. nach/in P1 verschob. Vektor d. Pkt P2;
d)

0.5 {\vec{p}}_{1} + 0.5 {\vec{p}}_{2} = 0.5 ({\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}) = 0.5 \vec{q}

, Pkt;
e)

{\vec{p}}_{1} = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} + {\vec{p}}_{2}

, Pkt.
Also überall, wo ein Pkt beteiligt ist, ist d. Ergeb. wieder ein Pkt.

Fazit: m.E. kann jeder Pkt. durch seinen Ortvektor ersetzt u. dann auch wie ein "freier" Vektor verwendet werden; umgekehrt wird ein "freier" Vektor zum Ortsvek., wenn & indem man ihn an einen Pkt "anhängt". Auch d. Tatsache, daß jeder Vektor d. Differenz v. 2 Ortsvek. ist, zeigt d. Ähnlichk. & wechsels. Transform. von sog. "Orts-" & "freien" Vektoren; eine formale Unterscheidg. halt ich für künstlich & unnötig - auch methodisch.

Kolleg. Grüße & schönes WE!

oculus aktiv_icon

12:22 Uhr, 10.03.2014

Hallo aleph-math,

dein Beitrag war recht interessant; interessieren würde mich, ob du nach dem Abi - was dein nick-name nahelegt - wirklich Mathevorlesungen gehört hast.

Denn meine Schulzeit war nicht in den '70er' sondern in den '40er', aber auch da unterschied man schon zwischen Vektorräumen und affinen Räumen, und damit dezidiert zwischen Punkten und freien Vektoren

(=

Verschiebungen).
Ich habe mir erlaubt, unten im Anhang eine einigermaßen verständliche Definition des affinen Raums aus einem Vorlesungsskript zu kopieren.

Zu der Frage, ob die Unterscheidung zwischen Punkten und Vektoren sinnvoll ist, Folgendes

Genau so, wie ein Vektorraum

V_{K}

eigentlich ein Mengenpaar

(V, K)

ist, nämlich die Menge

V

der Vektoren und die Menge eines zugehörigen Skalarenkörpers

K,

so ist der affine Raum

P_{V}

ein Mengenpaar, nämlich die Menge

P

der Punkte und die Menge der Vektoren des zugehörigen Vektorraums V. Dabei haben die Vektoren die Funktion der Verschiebungsabbildung (Translation).
Da der Fragesteller Probleme mit den homogenen Koordinaten hat, ist es vielleicht interessant, den affinen Abbildungscharakter, den die Addition eines Punktes

p \in ℝ_{2}

mit einem freien Vektor

v \in V_{2}

hat, der Einfachheit halber im 2-dimensionalen Punktraum zu untersuchen.
Eine Translation

ψ : R^{2} \to R^{2}, (p_{1}, p_{2}) \to ψ ((p_{1}, p_{2}))

eines Punktes

p = (p_{1}, p_{2})

hat im 2-dimensionalen Punktraum unter inhomogenen Koordinaten die Darstellung

ψ (\begin{matrix} p 1 \\ p 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} p 1 \\ p 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} c 1 \\ c 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} + c_{1} \\ p_{2} + c_{2} \end{matrix})

(unter homogenen Koordinaten dagegen die Darstellung

ψ (\begin{matrix} p 1 \\ p 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} p 1 \\ p 2 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} c 1 \\ c 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} + c_{1} \\ p_{2} + c_{2} \\ 1 \end{matrix})

.
Will man nun den Abbildungen 2x2-Matrizen zuordnen, und zwar derart, dass das Produkt
Matrix

\cdot (\begin{matrix} p 1 \\ p 2 \end{matrix}) = ψ (\begin{matrix} p 1 \\ p 2 \end{matrix})

ist (weil man nur auf diese Weise mehrfach hintereinander ausgeführte Abbildungen analytisch bequem durch Multiplikation der zugeordneten Abbildungsmatrizen ausdrücken kann), so ist das mit inhomogenen Koordinaten nicht möglich.
Mit den speziellen "dreidimensionalen" homogenen Punkt- bzw. Vektorkoordinaten aber entspricht der Addition

(\begin{matrix} p 1 \\ p 2 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} c 1 \\ c 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} + c_{1} \\ p_{2} + c_{2} \\ 1 \end{matrix})

nun die Matrixmultiplikation

(\begin{matrix} 1 & 0 & c_{1} \\ 0 & 1 & c_{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} p 1 \\ p 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} + c_{1} \\ p_{2} + c_{2} \\ 1 \end{matrix}),

so dass sich durch homogene Koordinaten nun alle affinen Abbildungen einheitlich durch Matrixmultiplikationen darstellen lassen.

Freundliche Grüße von

oculus

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