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Integral Monotonie

Universität / Fachhochschule

19:25 Uhr, 04.02.2019

Hallo,

Ich bräuchte eine Idee, um die folgende Aufgabe zu zeigen.
Intuitiv ist mit noch nicht klar, warum die Aussage überhaupt gilt

z . B

. wenn

f

negativ ist, aber im Betrag größer ist als

g

f

und

g

sind nach Voraussetzung integrierbar.

Lg Ersti1811

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

11:52 Uhr, 05.02.2019

f \leq g

f.ü. bedeutet

0 \leq g - f

f.ü., und

\int_{A} f d μ \leq \int_{A} g d μ

ist wegen der Linearität des Integrals gleichbedeutend mit

0 \leq \int_{A} g d μ - \int_{A} f d μ = \int_{A} (g - f) d μ

. Via

h := g - f

ist damit die nachzuweisende Aufgabe äquivalent zu:

h \geq 0 f.ü. \overset{}{\Leftrightarrow} \forall A (messbar) : \int_{A} h d μ \geq 0

,

womöglich erleichtert das ein wenig die Argumentation.

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