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Integral e^(-x^2) von 0 bis R

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: e-Funktion, Integration

Luto67

01:54 Uhr, 03.09.2014

Hallo, ich versuche gerade dieses Integral zu lösen, aber Substitution und partielle Integration bringen mich einfach nicht weiter:

\int_{0}^{R} e^{- x^{2}} d x

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

anonymous

02:42 Uhr, 03.09.2014

e^{- x^{2}} d x

lässt sich nicht elementar integrieren. Es gibt deshalb eine eigens benannte Funktion dafür:

e r f (r) = \frac{2}{\sqrt{π}} \cdot \int_{0}^{r} e^{- x^{2}} d x

(Gaußsche) Fehlerfunktion

Mit dieser gilt dann:

\int_{0}^{R} e^{- x^{2}} d x = \frac{\sqrt{π}}{2} \cdot e r f (R)

Luto67

04:09 Uhr, 03.09.2014

Danke! Damit ist diese Frage wohl gelöst.
Allerdings brauchte ich das um eine Klausuraufgabe zu lösen, da kann solches Wissen doch nicht vorausgesetzt werden, oder?

Eigentlich sollte ich dieses Integral berechnen:

K_{R} = {(x, y) : x^{2} + y^{2} < = R^{2}; x, y > = 0}

\int \int_{K_{R}}^{} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = \int_{0}^{R} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- r^{2}} d φ d r = \frac{π}{2} \int_{0}^{R} e^{- r^{2}} d r

Und dann noch das gleiche für

K_{\sqrt{2} R}

, und für die Fläche

[0, R]^{2}

mit dem Satz von Fubini. Das habe ich allerdings nicht geschafft. Am Ende sollte ich folgern, dass aus

\int \int_{K_{R}}^{} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y < = \int \int_{[0, R]^{2}}^{} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y < = \int \int_{K_{\sqrt{2} R}}^{} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y

folgt:

\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} = \frac{\sqrt{π}}{2}

.

Dann passt das ja, weil die Fehlerfunktion dann 1 wird.

Nur wie bestimmt man das mittlere Integral?
Mit Fubini bekomme ich:

\int \int_{[0, R]^{2}}^{} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = \int_{0}^{R} (\int_{0}^{R} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x) d y

.
Oder

\int_{0}^{R} (R i e m a n n s c h e U n t e r s u m m e o d e r O b e r s u m m e v o n e^{- (x^{2} + y^{2})} i m I n t e r v a l l [0, R]) d y

Respon

05:51 Uhr, 03.09.2014

Vielleicht hilft dir das weiter:
www.youtube.com/watch?v=FYNHt4AMxc0
www.youtube.com/watch?v=fWOGfzC3IeY

Luto67

09:30 Uhr, 03.09.2014

Mein Fehler war wohl, dass ich das r in dem Integral bei der Transformation nicht eingebaut habe. Aber wo kommt das eigentlich her?.

\int_{0}^{R} \int_{0}^{\frac{π}{2}} r \cdot e^{- r^{2}} d φ d r

Respon

09:49 Uhr, 03.09.2014

Ich vermute, dass der Faktor

r

sich durch die Funktionaldeterminante ( bzw. Jacobi-Determinante ) ergibt.
siehe dazu

z . B

. de.wikipedia.org/wiki/Funktionaldeterminante#Zylinderkoordinaten

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