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Integral über einen Kreis im Raum

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Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Integration

Bayro aktiv_icon

19:12 Uhr, 22.07.2017

Hallo Leute,

Erneut Bayro hier. Wie man bei meiner letzten Frage schon gesehen hat, beschäftige ich mich mit Flächen im Raum. Nun bin ich bei einem Kreis im Raum. Der Kreis in der Ebene war nicht wirklich schwer:

M (x_{0}, y_{0}) =

Mittelpunkt

r^{2} = {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{r^{2} - {(x - x_{0})}^{2}} + y_{0}

Im Raum dagegen hatte ich keine Idee, wie ich die Gleichung herleiten könnte. Ich kam bis jetzt nur soweit, dass der Normalenvektor das Kreuzprodukt der Vektoren

e_{r}

und

e_{φ}

ist.

Kann ich vielleicht die Kreisgleichung auf 3 Koordinaten erweitern, ohne, dass daraus eine Kugel entsteht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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19:43 Uhr, 22.07.2017

Nein, durch eine Gleichung kann man den Kreis nicht beschreiben.
Also entweder zwei Gleichungen oder die Parameterform.

Bayro aktiv_icon

20:28 Uhr, 22.07.2017

Aber wie parametrisiere ich?

z . B

. Ich weiß, dass der Kreis in der Ebene

a x + b y + c z + d = 0

mit den Mittelpunkt

M (x_{0}, y_{0}, z_{0})

und Radius

r

liegt. Wie gehe ich nun weiter?

Ich kann nur sagen, dass die Flächennormale

n = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

ist. Damit kann ich aber erstmal nichts anfangen.

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20:38 Uhr, 22.07.2017

Du brauchst zwei Vektoren, welche in der Ebene liegen und senkrecht zueinander sind.
In allgemeiner Form ist es eine echt ätzende Rechnerei.
Aber bei konkreten Zahlen geht es recht leicht.
Z.B. wenn die Ebene

x + 2 y + z = 4

ist, dann brauchst Du einen Vektor, der senkrecht zu

(1, 2, 1)

ist. Z.B.

(- 2, 1, 0)

. Der zweite muss zu beiden

(1, 2, 1)

und

(- 2, 1, 0)

senkrecht sein,
das ergibt die Gleichungen

x + 2 y + z = 0

und

- 2 x + y = 0

mit einer Lösung

(1, 2, - 5)

.
Jetzt noch die Vektoren normieren:

v_{1} = \frac{1}{\sqrt{5}} (- 2, 1, 0)

und

v_{2} = \frac{1}{\sqrt{30}} (1, 2, - 5)

.

Dann ist die Parameterform des Kreises:

(x_{0}, y_{0}, z_{0}) + r v_{1} \cos (φ) + r v_{2} \sin (φ)

φ

geht von

0

bis

2 π

Bayro aktiv_icon

21:24 Uhr, 22.07.2017

Also so?

(\begin{matrix} x \\ y \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{matrix}) + r u cos (φ) + r v sin (φ)

f (x, y, z) \to f (r, φ)

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} f (r, φ) \cdot N d r d φ

N = | N (r, φ) | = \sqrt{N_{x}^{2} + N_{y}^{2} + N_{z}^{2}}, N_{x}, N_{y}, N_{z} =

Funktionaldeterminanten

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21:36 Uhr, 22.07.2017

Was und wie Du integrierst, weiß ich nicht.

Bayro aktiv_icon

21:55 Uhr, 22.07.2017

Ich würde dies nun so ausrechnen:

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1381330

1381313

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