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Integral und Fläche

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: berechnen, Funktion 3. Grades, Heißluftballon, Höhe nach..

joplayfull aktiv_icon

20:44 Uhr, 28.09.2014

Hallo,
es handelt sich um eine Heißluftballon-Aufgabe.
"Der Ballon bewegt sich ausschließlich in vertikale Richtung,

d . h

. er steigt auf- und abwärts. Er bewegt sich nicht in horizontale Richtung. Zum Zeitpunkt

t = 0

befindet sich der Ballon in Höhe von

20

Metern.
Die Funktionsgleichung

f (x) = \frac{x^{3}}{200} - \frac{43 x^{2}}{200} + \frac{420 x}{200}

beschreibt die Vertikalgeschwindigkeit

v

des Ballons in Abhängigkeit von der Zeit

t

. Die Geschwindigkeit wird dabei in

(\frac{m}{s})

und die Zeit in Sekunden

(s)

angegeben. Bei einer positiven Geschwindigkeit steigt der Ballon und bei einer negativen Geschwindigkeit fällt er."

Als erstes sollten wir die Nullstellen berechnen.

Dies habe ich gemacht, indem ich die Funktionsgleichung

= 0

gesetzt habe. Danach vereinfacht und mit der Quadratischen Ergänzung die Nullstellen

x 1 = 0, x 2 = 15

und

x 3 = 28

herausbekommen.

Als zweites mussten wir den Graphen von

f

über dem Intervall

[0; 30]

zeichnen.
Dies hat auch noch gut geklappt.

Als 3. Aufgabe hatte ich leichte Probleme und bin mir auch nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe. Jedenfalls lautet diese Aufgabe wie folgt:
Berechne, in welcher Höhe sich die der Ballon nach

30

Sekunden befindet.
Mein Ansatz war, einfach

30

für

x

einzusetzten. Falls dies richtig war, kam bei mir

\frac{9}{2}

als Ergebnis raus.

Die 4. Aufgabe lautet: Ermittle rechnerisch, wie sich die Höhe des Ballons zwischen der 5. und der

25

. Sekunde geändert hat. Hier habe ich leider noch keinen Ansatz, genau wie bei Aufgabe 5.

Die letzte Aufgabe lautet nämlich:
Berechne die Strecke, die der Ballon insgesamt in vertikaler Richtung (hoch und runter zusammengenommen) nach

20

Sekunden zurückgelegt hat.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

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21:31 Uhr, 28.09.2014

Die Funktionsgleichung beschreibt die Vertikalgeschwindigkeit.

Das heisst wenn du

30 s

einsetzt dann gibt das

v (30) = 4.5 \frac{m}{s}

Geschwindigkeit.
Um die Wege zu erhalten musst du integrieren
Anfangshöhe

20 m

Integral von 0 bis

15 = 57.66 m

aufwärts
Intergral von

15

bis

28 = - 39.36

also abwärts
Integral

28

bis

30 = 4.21

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Das alles addiert gibt die Höhe

h = 42.51 m

joplayfull aktiv_icon

21:49 Uhr, 28.09.2014

was bringt mir jetzt die

4,5 \frac{m}{s}

? dann hätte ich ja direkt

\int_{0}^{30} \frac{x^{3}}{200} - \frac{43 x^{2}}{200} + \frac{420 x}{200}

berechnen können. Mir ist nun unklar, wofür ich diese

4,5 \frac{m}{s}

gebraucht hätte.

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21:56 Uhr, 28.09.2014

Du hattest

30

eingesetzt und

\frac{9}{2}

erhalten, was ja nichts anderes als

4.5

ist.
Ich wollte nur darauf hinweisen, dass das kein Weg sondern die Momentangeschwindigkeit bei der

30

. Sekunde ist.
Das brauchst du ja tatsächlich nicht.
Es dürfte dich wohl nicht erstaunen, dass du integrieren musst um den Weg also Höhe zu berechnen, siehe dein Titel, dort steht Integral.

Und es ist tatsächlich gut so direkt zu rechnen mit einem einzigen Integral. Aber die anfänglichen