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Integral von Wurzel im Nenner

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

anonymous

13:29 Uhr, 25.06.2009

Hi,

hab eine neue Frage:

Die marginale Konsumquote eines Haushalts ( = Ableitung der Konsumfunktion) werde in
Abhängigkeit vom Haushaltseinkommen E beschrieben durch

C´(E)= $\frac{7, 2}{\sqrt{0, 6 * E + 4}}$

Das Existenzminimum ( = Konsum beim Einkommen 0) betrage 50 GE. Man ermittle die
Gleichung der Konsumfunktion und der Sparfunktion.
Lösungshinweise:

C´(E)= $\frac{7, 2}{\sqrt{0, 6 * E + 4}}$ = ${7, 2 * (0, 6 E + 4)}^{- \frac{1 /}{2}}$

=> C´(E)= $7, 2 * \frac{1}{\frac{1 /}{2}} * \frac{1}{0, 6} * {(0, 6 E + 4)}^{\frac{1 /}{2}} + C = 24 * {(0, 6 E + 4)}^{\frac{1 /}{2}} + C$

Aus C(0) = 24·2 + C = 50 folgt C = 2. Damit erhält man die gesuchten Funktionen:

Konsumfunktion C(E) = ${24 * (0, 6 E + 4)}^{\frac{1 /}{2}} + 2$

Sparfunktion S(E) = E ? C(E) = E - ${24 * (0, 6 E + 4)}^{\frac{1 /}{2}} - 2$

So nun meine Frage: Wie kommt man auf $\frac{1}{\frac{1 /}{2}} u n d \frac{1}{0, 6}$ ??? Beim Integral muss ich doch die Potenz +1 nehmen und alle Werte durch die neue Potenz. Das wäre bei mir:

$\frac{7, 2}{\frac{1 /}{2}} * \frac{0, 6}{\frac{1 /}{2}} * \frac{4}{\frac{1 /}{2}}$ Wird die Wurzel irgendwie anders behandelt???

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

13:41 Uhr, 25.06.2009

Irgendwie übernimmt der Formeleditor die Symbole nicht.

Wenn Ihr es aber in den Formeleditor reinkopiert dann stimmts.

anonymous

14:00 Uhr, 25.06.2009

also, wenn ich das recht verstehe sollst du quasi ein integral lösen, was diese form hat:

\int \frac{a}{\sqrt{b x + c}} d x

und

a, b, c \in R

du hast schon richtig erkannt, dass die stammfunktion der funktion

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

F (x) = 2 \cdot \sqrt{x}

ist

\frac{1}{\sqrt{x}} = {(\sqrt{x})}^{- 1} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} = x^{- \frac{1}{2}}

und um potenzfunktionen
zu integrieren erhöht man ja den exponenten um 1 und multipliziert mit dem kehrwert dieses neuen exponenten.

- \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}

{(\frac{1}{2})}^{- 1} = 2

\to \int \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \sqrt{x}

- - -

was du nun vergessen hast, ist, dass die innere ableitung hier nur nicht auftaucht, da sie in diesem fall 1 ist.

d \frac{x}{d x} = 1

;-)

betrachten wir wieder das andere integral

\int \frac{a}{\sqrt{b x + c}} d x

ziehen wir erstmal den konstanten vorfaktor vordas integral

a \cdot \int \frac{1}{\sqrt{b x + c}} d x

danach substituieren wir s(x)=bx+c

damit wird aus dem integral:

a \cdot \int \frac{1}{\sqrt{s (x)}} d x

nun kann man ja eine funktion, die von

s

abhängt (zwar von

s (x),

aber eben nur indirekt von

x)

nicht nach

x

integrieren. daher brauchen wir auch noch den zusammenhang zwischen

d s

und

d x

s' = b \Leftrightarrow \frac{d s}{d x} = b \Leftrightarrow d x = \frac{1}{b} d s

damit wird aus dem integral

a \cdot (\frac{1}{b}) \cdot \int \frac{1}{\sqrt{s}}

ds (die

\frac{1}{b}

können wir ja wieder nach vorne ziehen)

wenn wir nun dieses integral lösen erhalten wir:

2 \cdot \frac{a}{b} [\sqrt{s}] + C, C \in R

und nun können wir für

s

ja wieder rücksubstituieren:

2 \cdot \frac{a}{b} \sqrt{b x + c} + C

Edddi aktiv_icon

14:03 Uhr, 25.06.2009

\int 7,2 \cdot {(0,6 \cdot E + 4)}^{- \frac{1}{2}}

*dE

= 7,2 \int {(0,6 \cdot E + 4)}^{- \frac{1}{2}}

*dE

= 7,2 \cdot \frac{1}{0,6} \cdot \int 0,6 \cdot {(0,6 \cdot E + 4)}^{- \frac{1}{2}}

*dE

= 12 \cdot \int 0,6 \cdot {(0,6 \cdot E + 4)}^{- \frac{1}{2}}

*dE

= 12 \cdot \frac{{(0,6 \cdot E + 4)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}

= 24 \cdot {(0,6 \cdot E + 4)}^{\frac{1}{2}} + C = 24 \cdot \sqrt{(0,6 \cdot E + 4)} + C

Grund sind die Integrationsregeln:

u (v) = \int [u (v)]' = \int u' (v) \cdot v'

und somit:

\int \frac{1}{\sqrt{5 \cdot x}} \cdot d x = \frac{1}{5} \cdot \int 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot x}} \cdot d x

...im rechten Integral siehst du das Produkt aus der geschachtelten und der Ableitung der inneren Funktion, somit kannst du

5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot x}}

wie

\frac{1}{\sqrt{x}} = {(x)}^{- \frac{1}{2}}

integrieren...dies ergäbe

\frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \sqrt{x} . .

. nun für

x

wieder die innere Funktion rein, und du hast

2 \cdot \sqrt{5 \cdot x} .

Macht also:

\int \frac{1}{\sqrt{5 \cdot x}} \cdot d x = \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \sqrt{5 \cdot x}

...und ich weiß, das man hier die

\frac{1}{\sqrt{5}}

hätte vor die Wurzel ziehen können, ich wollt' aber das Beispiel einfach halten...

\int \frac{1}{\sqrt{5 \cdot x}} \cdot d x = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot d x = \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \sqrt{5 \cdot x}

ist also dasselbe.

Verstanden?...du musst also vor dem Integral mit dem Reziproken des Faktors im Integral multipliieren...so bleibt das Integral gleich (da Konstante)...der Faktor im Integral ist so zu wählen, das er mit der Ableitung der inneren Funktion identisch ist. Funktioniert also nur mit linearen Funktionen...

;-)

anonymous

16:20 Uhr, 25.06.2009

Meine Frage ist wie der auf (1/(1/2) und (1/0,6) kommt.

Hier ist die Aufgabe noch mal richtig.

Danke schon mal für die Hilfe!

anonymous

17:18 Uhr, 25.06.2009

du musst schon selbst denken und verstehen... wir haben BEIDE die antwort gegeben.

ich allgemein mit "buchstaben" und mein nachredner hat es dir 1. VORGERECHNET und 2. es nochmal anhand eines anderen beispiels erklärt.

dreist

anonymous

18:51 Uhr, 25.06.2009

Ja ich hab die innere Ableitung verpeilt. Das war das Problem. Danke!!

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