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Integral zwischen Kreis und Parabel

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Integration

Tags: Integration

JudithA aktiv_icon

20:23 Uhr, 03.01.2013

Hallo zusammen,

ich möchte eine Fläche berechnen, die durch die Parabel y≥2x²+1 und durch den Kreis (y-1)²+x²≤3 definiert ist

(s

. erste Abbildung).

Dafür möchte ich zunächst die untere Hälfte des Kreises berechnen

(s

. Abbildung

2,

hier als "a" gekennzeichnet), bin mir aber bei den Intervalgrenzen nicht sicher.

x

verläuft von -Wurzel 3 bis +Wurzel

3,

das entspricht dem Radius des Kreis.

y

von 1 als Kreismittelpunkt bis..? An dieser Stelle brauche ich die Kreisgleichung, aber wie kann ich sie so umformen, dass ich sie hier als Intervalgrenze nutzen kann?

DANKE :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

ARTMath100 aktiv_icon

21:07 Uhr, 03.01.2013

Ermittle Schnittpunkte von Kreis und Parabel durch ersetzen von y in der Kreisgleichung:

${[(2 x^{2} + 1) - 1]}^{2} + x^{2} = 3$

${(2 x^{2})}^{2} + x^{2} - 3 = 0$

$4 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Das ist biquadratische Gleichung mit den Lösungen

$\pm \frac{2}{3} \sqrt{3}$

Das sind die Intervallgrenzen:

Stelle die Kreisgleichung nach y um:

$y = 1 \pm \sqrt{3 - x^{2}}$

uns interessiert nur der obere Halbkreis:

$y = 1 + \sqrt{3 - x^{2}}$

Die Fläche zwischen Kreislinie und Parabel ist gegeben durch:

$\int_{- \frac{2}{3} \sqrt{3}}^{\frac{2}{3} \sqrt{3}} ([1 + \sqrt{3 - x^{2}}] - [2 x^{2} + 1]) d x = \int_{- \frac{2}{3} \sqrt{3}}^{\frac{2}{3} \sqrt{3}} (\sqrt{3 - x^{2}} - 2 x^{2}) d x$

Wegen der Achsensymmetrie gilt:

$A = \int_{0}^{\frac{2}{3} \sqrt{3}} \sqrt{3 - x^{2}} d x - 2 \int_{0}^{\frac{2}{3} \sqrt{3}} x^{2} d x$

Das 2. Integral sollte kein Problem darstellen. Das erste Integral ist ein Integral der Form

$\int \sqrt{a - x^{2}} d x$

Kann über Formelsammlung oder mittels Substitution gelöst werden.

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21:27 Uhr, 03.01.2013

hier noch eine Skizze

JudithA aktiv_icon

22:05 Uhr, 03.01.2013

Hallo, und danke schon mal für die ausführliche Antwort - da war ich wohl falsch unterwegs. Könntest du mir noch sagen, wie du auf die 2 Lösungen der biquadratischen Gleichung kommst? (Sorry, meine letzten Mathestunden liegen schon Jahre zurück). Muss ich die nicht entweder mit pq-Formel und Substituion bzw. Mitternachtsformel und Substitution lösen und daher auf 4 mögl. Ergebnisse kommen?

ARTMath100 aktiv_icon

23:35 Uhr, 03.01.2013

Genauso. Dabei erhälst Du für die Substituiere auch 1 negative Lösung. Diese entfällt und damit hast Du genau 2 Lösungen!

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