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Integralrechnung Intervall bestimmen

Schüler Kolleg, 11. Klassenstufe

Tags: Fläche, Integralfunktion, Intervall, x-Achse

chris-abi2012

00:14 Uhr, 25.02.2011

Hi,

ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabenstellung:

Bestimmten Sie einen Wert a so, das die Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achsen über dem Intervall

[0; a]

gleich groß sind.

Aufgabe:

f (x) = x^{3} - x^{2} - 2

meine Fragen:

- ich weiß gar nicht, wo ich nun anfangen müsste.
ich hab mir nur ne Skizze gemacht und werd daraus nicht schlau,
vorallem, da ich nicht mal mit ner Nullstelle ankommen brauch,
da die Zahl nicht zu erraten ist.

Wie muss ich da nun vorgehen?
Danke für Hilfen aller sinnvollen Art :-)

Chris

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Integralfunktion
Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

sigma10 aktiv_icon

02:42 Uhr, 25.02.2011

Hallo chris-abi2012,

ist wirklich eine schwierige Aufgabe. Lösung ist händisch nicht zu lösen.

Eine analytische Lösung ist m.E. schwierig.

f (x) = x^{3} - x^{2} - 2

Die Nullstelle liegt ca. bei

x_{1} = 1.69562

x_{2}, x_{3} \in C

Du musst

\int_{0}^{a} f (x) = 0

berechnen.

Das ergibt:

- 2 a - \frac{a^{3}}{3} + \frac{a^{4}}{4} = 0 .

Hier lässt sich schwer eine analytische reelle Lösung erkennen. Eine triviale Lösung ist natürlich

a_{1} = 0

. Numerisch lässt sich eine zweite Lösung leicht mit

a_{2} = 2.55695

angeben.

mfg sigma10

chris-abi2012

13:39 Uhr, 25.02.2011

Danke erstmal für deine Hilfe.

Ich hab das gestern folgendermaßen gemacht:

f (x) = x^{3} - x^{2} - 2

\int_{0}^{a} (x^{3} - x^{2} - 2) d x = {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - 2 x]}_{0}^{a} = \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3} - 2 a = 0

Denn nach der Aufgabenstellung muss die Fläche unter der x-Achse im
Intervall

[0; a]

ja mit der Fläche oberhalb der x-Achse (also rechtsseitig
des Grafen) übereinstimmen.

Also 0 sein. Denn wir bilden hier ja den orientierten Flächeninhalt,
also die Flächenbilanz. Und diese müsste dann ja nach meiner Überlegung
0 werden (Fläche unterhalb der x-Achse ist negativ und die Fläche oberhalb
ist positiv und wenn diese sich sozusagen "neutralisieren", dann haben
beide die gleiche Größe und die Bilanz ist

0 .)

.

Was denkst du über diese Überlegung oder ihr?

Schwierig ist für mich nur noch, die zweite Nullstelle für:

\frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3} - 2 a = 0

herauszubekommen. Denk mal ein ungefährer Wert dürfte dann doch reichen,
denn ich glaub mal nicht dran, dass die Zahl unbedingt als Bruch vorliegen muss.

\frac{1}{4} a (a^{3} - \frac{4}{3} a^{2} - 8) = 0

a_{1} = 0

(müsste ja so sein, da es dann ja keine Fläche gäbe, wenn ich

\int_{0}^{0}

so integriere.)

a_{2} =

? Müsste ich irgendwie annähern können. Gibt es da ne gute Möglichkeit für?

DANKE schonmal im Vorraus :-)
Gruß Chris

BjBot aktiv_icon

13:59 Uhr, 25.02.2011

Naja du hast ja im Prinzip genau das gemacht, was dein Vorredner schon gepostet hatte ;-)
Nur schöner und ausführlicher erklärt hast du es (besonders den Zusammenhang mit den orientierten Flächeninhalten), was zeigt, dass du auch verstanden hast WARUM es sinnvoll ist das Integral gleich null zu setzen.
Am Schluss könnte man jetzt eben irgendein Näherungsverfahren anwenden

(z . B

. das Newtonverfahren).

chris-abi2012

14:23 Uhr, 25.02.2011

xD

Ich hab mal das "Newtonsche Näherungsverfahren" angewendet und komme dann
auf

a \approx 2,5569,

dürfte ja nah genug an der Lösung sein xD

Super, nochmal danke an euch für eure Hilfestellungen!

Bis zum nächsten mal.
Lieben Gruß
Chris

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