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Integration über Paraboloid

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Flächeninhalt, Integration, oberfläch, Paraboloid, x^2+y^2

nixkönner aktiv_icon

08:05 Uhr, 02.09.2019

Hallo liebes Forum,
momentan bereitet mir folgende Aufgabe Probleme:
Sei

M

Teil des Parabolids

z = x^{2} + y^{2},

der zwischen den Ebenen

z = 0

und

z = 4

läuft.

a)

Finden sie eine geeignete Menge und eine Funktion

h

mit Graph

M,

das heißt es soll die typische Mengenschreibweise gelten

\to

Mein Ansatz für die Aufgabe:

{[0,2] x [0,2], 0 < z < x^{2} + y^{2}},

entsprechend hier

h (x, y) = z = x^{2} + y^{2}

b)

Berechnen sie den Flächeninhalt A von M.

\to

Mein Ansatz wäre hier das Integral

A = \sqrt{1 + {(\frac{h}{d x})}^{2} + {(\frac{h}{d y})}^{2}}

Dabei Integriere ich mittels Polarkoordinaten und erhalte das Ergebnis von ca.

11 Π

c)

Berechnen sie das Integral über

M

mit

\sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}}

\to

Da diese Aufgabe hier mir nicht einleuchtet, was für dA gemeint ist, komme ich hier nicht mehr weiter. Nehme ich für dA die Grenzen von

x, y

und

z

oder ist hier das Oberflächenflussintegral (vgl. Satz von Gauß) gemeint?

d)

Berechnen sie das Integral über

M

vektor(-x,-y,2z)dA

\to

Auch hier komme ich nicht auf die entsprechenden Grenzen. Was ist genau in den beiden Aufgabenstellung für das dA gemeint?
Ich wäre sehr dankbar für eine kleine Hilfestellung, da meine Dozentin leider im verdientem Urlaub ist.
Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

18:36 Uhr, 02.09.2019

dein Ansatz die Fläche zu berechnen, kann ich nicht nachvollziehen was soll etwa

\frac{h}{d x}

sein?, Polarkoordinaten sind gut, darin hast du ja dA dann einfach das Integral \sqrt(1+4r^2)dA bestimmen.
in

c)

stell dir die funktion als eine Art Flächendichte vor,
für

d)

brauchst du den normalenvektor

d \vec{A}

du berechnest den fluß des gegebenen Vertorfendes durch die Fläche.
Gruß ledum

nixkönner aktiv_icon

20:16 Uhr, 02.09.2019

Hallo und schonmal Danke für deine Antwort.
Zu deiner Frage, was ich mit

\frac{h}{d x}

gemeint habe: h(xy)=z=x^2+y^2.
Entspricht glaube ich dem Normalenvektor.
Oder ist schon dieser Ansatz falsch und ich sollte nur über die Fläche integrieren, sprich für die Grenzen

[0, r] x [0, φ]

?
Leider kann ich mit deinem Hinweis für

c)

nichts weiter anfangen.
Könntest du das eventuell noch weiter erläutern?
LG und besten Dank!
?

HAL9000

08:45 Uhr, 03.09.2019

Noch eine Ergänzung zum Anfang:

> Mein Ansatz für die Aufgabe:

{[0, 2] \times [0, 2], 0 < z < x^{2} + y^{2}}

Damit beschreibst du wohl eher eine gewisse Menge von Punkten, die UNTER dem Paraboloiden liegt...

Passender ist hier

M = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ x^{2} + y^{2} = z \leq 4}

, denn der Paraboloid ist definitionsgemäß eine Fläche, kein dreidimensionaler Körper.

----------------------------------------------------------------------------

Leider unterscheidest du in deinem Aufschrieb oben nicht deutlich genug zwischen vektoriellen Differential

d \vec{A} = (- \frac{\partial h}{\partial x}, - \frac{\partial h}{\partial y}, 1) d x d y

und dessen Betrag

d A = ∣ d \vec{A} ∣ = \sqrt{{(\frac{\partial h}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial h}{\partial y})}^{2} + 1} d x d y

. Ich würde z.B. vermuten, dass in c) der Wert

\int_{M} \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}} d A

gesucht ist, während es in d) stattdessen

\int_{M} (- x, - y, 2 z) \cdot d \vec{A}

ist - nicht wahr?

In allen Fällen entspricht eine Integration bzgl.

d A

bzw.

d \vec{A}

über der Menge

M

dann einer Integration bzgl.

d x d y

über der Projektion

D

der Menge

M

auf die

x y

-Ebene, das wäre hier mit

D = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x^{2} + y^{2} \leq 4}

,

die Kreisscheibe mit Radius 2 um den Ursprung. Kurzum, gesucht sind

b)

\int_{M} 1 d A = \int_{D} \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}} d x d y

\int_{M} \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}} d A = \int_{D} (1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}) d x d y

\int_{M} (- x, - y, 2 z) \cdot d \vec{A} = \int_{D} (- x, - y, 2 z) \cdot (- 2 x, - 2 y, 1) d x d y = \int_{D} (2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x d y

In allen drei Fällen dann im weiteren über eine Polarkoordinatentransformation gut beherrschbar - bei b) hast du das ja anscheinend schon getan.

nixkönner aktiv_icon

10:14 Uhr, 03.09.2019

Hallo HAL9000,
auch dir zuerst Vielen Dank für die Antwort.
Deine Antwort hat mich ein Stück weiter in Richtung Ziel gebracht. Allerdings hätte ich da noch eine Rückfrage.
Könntest du mir vielleicht noch verraten, worin genau der Unterschied zwischen dem in

c)

berechneten Integral in Betrag und der in

d)

genannten Aufgabe in vektorieller Form ist?
Mir ist der mathematische Unterschied nicht ersichtlich. Auch kann ich den Schritt bisher noch nicht nachvollziehen, der bei

c)

zum Auflösen der Wurzel geführt hat. Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir dabei noch behilflich sein könntest und den Unterschied aufzeigen kannst. Meine Vermutung wäre, dass sich bei

c)

die Wurzel durch den Betrag des Normalenvektors aufhebt?!
Vielen Dank!

nixkönner aktiv_icon

10:14 Uhr, 03.09.2019

c)

berechneten Integral in Betrag und der in

d)

genannten Aufgabe in vektorieller Form ist?
Mir ist der mathematische Unterschied nicht ersichtlich. Auch kann ich den Schritt bisher noch nicht nachvollziehen, der bei

c)

zum Auflösen der Wurzel geführt hat. Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir dabei noch behilflich sein könntest und den Unterschied aufzeigen kannst. Meine Vermutung wäre, dass sich bei

c)

die Wurzel durch den Betrag des Normalenvektors aufhebt?!
Vielen Dank!

nixkönner aktiv_icon

10:14 Uhr, 03.09.2019

c)

berechneten Integral in Betrag und der in

d)

genannten Aufgabe in vektorieller Form ist?
Mir ist der mathematische Unterschied nicht ersichtlich. Auch kann ich den Schritt bisher noch nicht nachvollziehen, der bei

c)

zum Auflösen der Wurzel geführt hat. Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir dabei noch behilflich sein könntest und den Unterschied aufzeigen kannst. Meine Vermutung wäre, dass sich bei

c)

die Wurzel durch den Betrag des Normalenvektors aufhebt?!
Vielen Dank!

HAL9000

10:21 Uhr, 03.09.2019

> Auch kann ich den Schritt bisher noch nicht nachvollziehen, der bei c) zum Auflösen der Wurzel geführt hat.

Setzt man

d A = \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}} d x d y

in das zu berechnende Integral ein, so steht da im Integranden

\sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}} \cdot \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}} = 1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}

,

weil nun man

\sqrt{u} \cdot \sqrt{u} = u

ist.

> Könntest du mir vielleicht noch verraten, worin genau der Unterschied zwischen dem in c) berechneten Integral in Betrag und der in d) genannten Aufgabe in vektorieller Form ist?

Da gibt es kein Geheimnis zu "verraten", denn es steht doch alles schon oben in meinem Beitrag da:

d A

ist ein reelles Differential, während

d \vec{A}

ein vektorielles ist - und von letzterem wird im d)-Integral das Skalarprodukt mit dem dort vektoriellen Integranden gebildet. Du warst es schließlich, der die Unterschiede zwischen beiden Differentialen schreibtechnisch weggebügelt hat! Stell doch mal einen Scan der Original-Aufgabenstellung rein - ich möchte wetten, dass wir dort einen Unterschied sehen können.

nixkönner aktiv_icon

12:18 Uhr, 03.09.2019

Ich danke dir bis dahin für deine Antwort und die sehr gute Hilfe. Ich hätte hier auch noch eine weitere Aufgabe, die mir Probleme bereitet:
Beschreiben sie B=((x,y,z)cR^3)/x^2+y^2+z^2<4,

x < y)

in Kugelkoordinaten und berechnen Sie

\int (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d (x, y, z)

.
Meine Idee wäre, hier über die Grenzen (pi/4,3pi/4)x(0,2)x(0,pi)

(φ, r, θ)

zu integrieren und aufzulösen, indem ich

x^{2} + y^{2}

durch jeweils die parametrisierten Formen ersetze. Korrektur: nicht hier (rcosphi,rsinphi) sondern entsprechende Kugelkoordinatentransformation rcosphisintheta)...)

Hört sich das gut an oder ist das Tinnef?
Liebe Grüße und nochmals herzlichen Dank, du bist mir eine sehr große Hilfe!

HAL9000

15:40 Uhr, 03.09.2019

Wenn du an Kugelkoordinaten