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Invertierbare Matrix, symmetrisch und positiv

Universität / Fachhochschule

Determinanten

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Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Positiv Definit, Symmetrie

 
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mathss

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16:58 Uhr, 20.02.2019

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Hallo, habe folgende Aufgabe:

Sei A ∈ GLn(R) beliebig (invertierbar). Zeigen Sie, dass die Matrix M:=
At⋅A positiv definit und symmetrisch ist.

Wie gehe ich hier vor?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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18:02 Uhr, 20.02.2019

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Hallo,
dass At⋅A symmetrisch ist, werde ich dir hier nicht vorführen.
Das kriegst du auch selber hin.
Für die Positivdefinitheit muss man zeigen, dass
xt(AtA)x>0 ist für alle x∈ℝn mit x≠0.
Es sei also x≠0. Dann ist auch y:=Ax≠0, da A invertierbar.
Wir haben

xt(AtA)x=(xtAt)(Ax)=(Ax)t(Ax)=...

Gruß ermanus
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godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

21:04 Uhr, 20.02.2019

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Gemeint ist hier die Hermitesch konjugierte A+; positiv definit


    <x|A+Ax>=<Ax| Ax >    (1)



A+ ist doch definiert als der Operator, der entsteht, wenn du A " durch ziehst "



    <Ax| Ax >=|Ax| ² ≥0    (2a)

    |Ax|=0→Ax=0    |A-1 °     (2b)



Die Umformung in (2b) habe ich wie üblich vermerkt: Anmerkung. " Kringel rechts ² bedeutet Matmul von Links. aus (2b) folgt x=0 wzbw .
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