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Ist die Folge Moton,Begrenzt,Alternierend?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Alternierend, begrenztes Wachstum, Folgen und Reihen, Monotonie

muschas1 aktiv_icon

12:49 Uhr, 07.02.2015

Hallo, ich möchte bei einer Folge bestimmen, ob diese Monoton(wachsend,fallend),Begrenzt und alternierend ist.

Die Folge lautet:

an=

\frac{5 n - 2}{7 n + 3}

Als ergebniss habe ich:

\frac{27}{(7 n + 10) (7 n + 3)}

Da der Nenner größer 0 ist kann dieser ignoriert werden.

Dann habe ich geschrieben:

27 > 0

Die Folge ist also streng monoton wachsend.

Die Definiton für die Beschränktheit lautet: an

\leq K

Was ist jetzt

K

und wie bestimme ob die Folge begrenzt ist oder nicht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

13:06 Uhr, 07.02.2015

Hallo
Ergebnis von was? ich sehe nicht, was dieser Bruch mit der Aufgabe zu tun hat.
zu streng wachsend: reche mal die ersten 3 Glieder der folge aus, werden die größer?
wachsend:

a_{n} < a_{n + 1}

oder

a_{n} - a_{n + 1} < 0

fallend

a_{n} - a_{n + 1} > 0

also rechne einfach

a_{n} - a_{n + 1}

aus.
wenn du wachsend oder fallend hast, weisst du auch ob du nach unten oder oben beschränkt zeigen musst. dann

z . B Z

und

N

durch

n

teilen dann was passirt bei großen

n

dass die folge immer

> 0

also nicht alternierend ist sieht man direkt da

Z

und

N

immer

> 0

(es sei denn ihr lasst

n = 0

zu)
Gruß ledum

muschas1 aktiv_icon

16:14 Uhr, 07.02.2015

Hallo, also ich habe jetzt an−an+1 gerechnet und komme auf

- 11

müsste also streng monoton fallend sein?

Deine weiteren erklärungen kann ich leider nicht wirklich verstehen. Könntest du es vorrechnen?

Danke und Gruß

ledum aktiv_icon

01:28 Uhr, 08.02.2015

Hallo
der Zähler der Differenz ist

- 11

nicht die Differenz selbst, sonst wäre die Folge nicht beschränkt. , der Nenner ist positiv und wächst mit

n

schnell an,

d . h

die Folge ist monoton du hast gezeigt: an-a_(n+1)<0 also

a_{n} < a_{n + 1}

heisst das wirklich fallend?
überlege noch mal!
wenn sie fallend ist musst du den kleinsten Wert ausrechnen, wenn sie wachsend ist den größten. um die Schranke zu finden.
Nochmal: klammere in Zähler und Nenner

n

aus und kürze dann im Zähler steht dann vor dem Kürzen

n \cdot (5 - \frac{2}{n})

den Nenner kannst du dann auch, dann sieht man, wohin der Wert für sehr große

n

geht. das ist dann die Schranke, die andere Schranke ist bei

n = 1

du lernst nichts, wenn ich dir einfach vorrechne!
Gruß ledum

muschas1 aktiv_icon

16:24 Uhr, 08.02.2015

Hallo,

also wenn ich an-an+1 rechne ist das Ergebniss: -11/14n²+91n+30

an+1

\geq

an = Monoton wachsend
an+1

\leq

an = Monoton fallend

Daher müsste diese Folge monoton wachsend sein.

Frage 1. Wie erkenne ich ob eine Folge NICHT monoton ist?
Frage 2. Wann ist die Folge streng wachsend und wann streng fallend?
Frage 3. Um die Schranke nach oben hin zu finden kann ich mit einer Tabelle arbeiten
und für

n

Werte von

1 - 10

einsetzen?

LG und Danke

ledum aktiv_icon

18:45 Uhr, 08.02.2015

Hallo
Wenn die Folge nicht streng monoton wachsend ist ist die Differenz abhängig von

n

mal positiv, mal negativ, dann ist die Folge nicht monoton (z:Bsp

a_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n},

wenn sie immer ein Vorzeichen hat ist sie streng monoton , wenn einige Folgenglieder gleich sind also die Differenz 0 sonst aber immer dasselbe Vorzeichen hat ist sie monoton aber nicht streng monoton.
Frage 3
Nein, denn bei

n = 10

oder auch

1000

hast du ja nicht die obere Grenze erreicht. Warum machst du das nicht, wie ich gesagt habe?
Da deine Folge monoton wachsend ist ist sie immer kleiner als für

n

gegen

\infty

warum machst du nicht, was ich gesagt habe?
Um anfangs ein Gefühl zu kriegen ob die folge wachsend oder Fallend ist und was vielleicht ungefähr die Grenze ist, kann man sich immer mal die ersten Folgeglieder ansehen, du hättest sofort gemerkt, dass sie wachsend ist und deine falsche aussage im post vorhin korrigiert, aber die obere Schranke hast du damit nicht!
Wenn du allerdings ein sehr grosses

n

einsetzt etwa

1000000

hast du

\frac{5000000 - 2}{7000000 + 3}

und siehst dass das nur wenig kleiner als

\frac{5000000}{7000000} = \frac{5}{7}

ist
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

20:10 Uhr, 08.02.2015

a_{n} = \frac{5 n - 2}{7 n + 3} ... ... ... ... ... ... . .

a_{n + 1} = \frac{5 n + 3}{7 n + 10}

Monotonie?

9 > - 20

35 n^{2} + 36 n + 9 > 35 n^{2} + 36 n - 20

(5 n + 3) \cdot (7 n + 3) > (5 n - 2) \cdot (7 n + 10)

\frac{5 n + 3}{7 n + 10} > \frac{5 n - 2}{7 n + 3}

\Rightarrow a_{n + 1} > a_{n} ... ... ... ...

. für alle

n \in N . . \Rightarrow a_{n}

streng monoton wachsend .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Beschränktheit?
zB:

\frac{5 n - 2}{7 n + 3} < 1

(5 n - 2) < (7 n + 3)

- 5 < 2 n . .

. für alle

n \in N .

. also

\to 1

ist zB eine obere Schranke

Grenzwert?

\to

existiert, da monoton wachsend und nach oben beschränkt

\to

lim_{n \to \infty} \frac{5 n - 2}{7 n + 3} = \frac{5}{7} . .

. und

\frac{5}{7}

ist die kleinste obere Schranke

.

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