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Ist diese Folge streng monoton fallend?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beschränktheit, Folgen und Reihen, Monotonie

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18:43 Uhr, 29.04.2013

Hallo,

ich sitze vor Folgender Aufgabe:

Sei

x_{0} \geq 3 / 2

und

x_{n + 1} := \frac{x_{n}^{2} + 2}{2 x_{n}}

Man Zeige: Die Folge

(x_{n})_{n \in ℕ}

ist nach unten beschränkt und streng monoton fallend.

Mir kommt es aber so vor, als sei die Folge zwar nach unten beschränkt aber nicht streng monoton fallend, sondern monoton steigend mit einem GW gegen unendlich, also nicht nach oben beschränkt.
Ist die Aufgabe (bzw. das was ich zeigen soll) falsch, oder habe ich die Aufgabe nur nicht richtig verstanden? Bei zweiterem würde ich mich über einen Lösungsansatz sehr freuen.

Vielen Dank schon mal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

19:14 Uhr, 29.04.2013

Hallo,

rechne doch einfach mal für ein paar

x_{0}

die entsprechenden

x_{1}, x_{2}, x_{3}

aus.

Gruß pwm

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20:16 Uhr, 29.04.2013

Okay, wie es scheint hatte ich die Aufgabe nicht verstanden.

Sagen wir

x_{0} = 2 \geq 3 / 2

.

Damit wäre

x_{1} = \frac{2^{2} + 2}{2 * 2} = \frac{6}{4} = 1.5 < 2

und die Folge monoton fallend.

Aber wie geht es weiter?

anonymous

20:48 Uhr, 29.04.2013

Vorschlag:
Also ich habe erst mal den Grenzwert berechnet.
Das ist bei Aufgaben dieses Typs eigentlich recht einfach.
Wenn ein Grenzwert existiert, dann müssten doch

x_{n}

und

x_{n + 1}

nahezu gleich sein.
Ja, im Grenzübergang für

n \to \infty

müssten sie sogar genau gleich sein.
Wunderbar - einfach einsetzen und ausrechnen.

Wenn du erst mal diesen Grenzwert hast dann siehst du klarer.
Aus der Existenz des Grenzwertes folgt ja auch, dass die Folge beschränkt ist.

Als zweites müssen wir noch die Monotonie untersuchen.
Dazu habe ich, wie in der numerischen Mathematik, einfach eine Fehlerfolge untersucht.
Setzen wir

>

für den Grenzwert:

g

>

für

x_{n} = g + b_{n}

dann kann man unter

b_{n}

einfach die Abweichung gegenüber dem Grenzwert verstehen.
Wenn obiges nun in die Folgen-Gleichung einsetzen, also:

g + b_{n + 1} = \frac{{(g + b_{n})}^{2} + 2}{2 \cdot (g + b_{n})}

dann sollte es dir hoffentlich gelingen,

b_{n + 1}

als Funktion von

b_{n}

zu errechnen.
Und idealerweise erkennst du darin, wie ich, die Monotonie...
Viel Spaß!

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21:31 Uhr, 29.04.2013

Ich habs mal mit dem Grenzwert versucht:

Zunächst berechnen wir den Grenzwert

a

der Folge

(x_{n})

lim_{n \to \infty} x_{n + 1} = a

bzw.

x_{n + 1} \to a

Hierzu bestimmen wir zuerst die Grenzwerte der einzelnen Komponenten von

x_{n + 1}

y_{n} := x_{n} \cdot x_{n} = x^{2}_

also

y_{n} \to a^{2}

z_{n} := y_{n} + w_{n}

also

z_{n} \to a^{2} + 2

u_{n} := w_{n} \cdot x_{n}

also

u_{n} \to 2 a

v_{n} := \frac{1}{u_{n}}

also

v_{n} \to \frac{1}{2 a}

w_{n} := 2

also

w_{n} \to 2

Damit ist:

x_{n + 1} = z_{n} \cdot v_{n}

also

x_{n + 1} \to \frac{a^{2} + 2}{2 a}

Woraus wir nun den Grenzwert

a

berechnen können:

a = \frac{a^{2} + 2}{2 a}

∣ \cdot 2 a

2 a^{2} = a^{2} + 2

∣ - a^{2}

a^{2} = 2

∣ \sqrt{}

a = \sqrt{2}

Die Folge ist also nach unten Beschränkt mit einem Grenzwert

a = \sqrt{2}

, welches die größte untere Schranke ist.

Ist das so korrekt?

Den zweiten Teil mit der Monotonie habe ich noch nicht verstanden :(
Und was ist denn eine "Fehlerfolge"?

anonymous

22:12 Uhr, 29.04.2013

Hallo nochmals
Den Grenzwert habe ich auch. Wennschon ich deinen langen Weg nicht so ganz nachvollziehen konnte.
Ich hätte einfach gesagt, dass

lim x_{n + 1} = a = lim x_{n}

und damit:

a = \frac{a^{2} + 2}{2 \cdot a}

und damit

a = \sqrt{2}

(Du nennst den Grenzwert "a", ich nannte ihn "g".)

So, und nun zur Monotonie.
Wie gesagt

x_{n + 1} = \sqrt{2} + b_{n + 1} = \frac{{(\sqrt{2} + b_{n})}^{2} + 2}{2 \cdot (\sqrt{2} + b_{n})}

\sqrt{2} + b_{n + 1} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot b_{n} + b_{n}^{2} + 2}{2 \cdot (\sqrt{2} + b_{n})}

\sqrt{2} + b_{n + 1} = \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot b_{n} + b_{n}^{2}}{2 \cdot (\sqrt{2} + b_{n})}

\sqrt{2} + b_{n + 1} = \frac{2 + \sqrt{2} \cdot b_{n} + \frac{1}{2} \cdot b_{n}^{2}}{\sqrt{2} + b_{n}}

Polynomdivision...

\sqrt{2} + b_{n + 1} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot b_{n}^{2} - \frac{1}{4} \cdot b_{n}^{3} + . .

b_{n + 1} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot b_{n}^{2} - \frac{1}{4} \cdot b_{n}^{3} + . .

.

Und dieser Funktion sieht man nun an:

>

wenn

b_{n}

erst mal klein ist, dann ist

b_{n + 1}

quadratisch (sehr) klein,

> D . h

. das Ganze konvergiert mit sehr hoher Konvergenz

>

und eben dass die Abweichung zum Grenzwert gemäß dem ersten dominierenden Glied

b_{n + 1} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot b_{n}^{2}

d . h

. nach einer Potenzfunktion monoton fällt.

Streng genommen müsstest du noch beweisen, dass auch für 'große'

b_{n}

bzw. für alle

b_{n}

die Folgeglieder stets monoton fallen.
Auch das kann man zeigen, einfach indem man:

x_{n + 1} = \frac{x_{n}^{2} + 2}{2 \cdot x_{n}}

x_{n + 1} = \frac{x_{n}}{2} + \frac{1}{x_{n}}

Für 'große'

x_{n}

wird der Term

\frac{1}{x_{n}}

sehr klein, es dominiert der erste Summand.

x_{n + 1} = \frac{x_{n}}{2}

Und von der wissen wir, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt, und dass diese monoton fallend ist.

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