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! Kantenlänge und Innenwinkel im Dreieck !

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Innenwinkel, Kantenlänge

sebi2 aktiv_icon

22:30 Uhr, 04.11.2009

Hallo und Guten Tag,

Ich sitze hier verzweifelt mit meinen Hausaufgaben die ich am Freitag abgeben muss.
Ich habe im moment echt keine ahnung wie ich anfangen soll, da ich am Montag den Unterricht verpasst habe. Mein Lehrer möchte jedoch trotzdem die Aufgaben schriftlich haben!!

Die Aufgabe lautet:
Berechne die Kantenlängen und die Innenwinkel im Dreieck.

A (5\4\1)

B

(0\4\1)

C

(0\1\5)

Kann mir einer helfen?
Danke im voraus! lg

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Flächenmessung
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Intelligenzia aktiv_icon

22:41 Uhr, 04.11.2009

Wo liegen deine Probleme speziell?
In der

13

. müsste man doch schon längst Vektoren ausgiebig durchgenommen haben und ihre Länge ausrechnen können. Dafür nimmst du den Pythagoras des Vektors zum Betrag.

Um die Innenwinkel auszurechnen teilst du das Dreieck in zwei rechteckige Dreiecke mit einer beliebigen Grundseite, in meinem Beispiel einfach BC. Ermittelst deren Richtungsvektor, und konstruierst zu BC eine Orthogonale

g

durch A.

Gerade

g

schneidet BC in S. Du kannst für den Innenwinkel dann entweder den den sinus oder cosinus benutzen indem du (für das linke rechtw. Dreieck) BS oder SA ausrechnest. Vergiss nicht die beiden Winkel der zwei rechteckigen Dreiecke in A zu addieren.

sebi2 aktiv_icon

22:50 Uhr, 04.11.2009

Ein Freund von mir meinte jedoch, dass man ein Skalarprodukt da benutzen muss, ich weiss nur nicht wie man den anwendet und wie das geht!
Kann ihn nicht erreichen, -..von Orthogonale oder Pythagoras war nicht die Rede!
Mein Lehrer will es wahrscheinlich anders aber danke, dass du geantwortet hast.

Kann mir jemand einen anderen Rechnungsweg erklären mit dem Skalarprodukt!
Danke!

dywi- aktiv_icon

23:06 Uhr, 04.11.2009

Zum Skalarprodukt:
Es ist

\vec{e} \cdot \vec{f} = e_{1} f_{1} + e_{2} f_{2} + e_{3} f_{3}

das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{e}

und

\vec{f}

.
Ferner ist

cos (φ) = \frac{\vec{e} \cdot \vec{f}}{| \vec{e} | \cdot | \vec{f} |} = \frac{\sum_{i = 1}^{3} e_{i} f_{i}}{\sqrt{\sum_{j = 1}^{3} e_{j}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{k = 1}^{3} f_{k}^{2}}} = \frac{e_{1} f_{1} + e_{2} f_{2} + e_{3} f_{3}}{\sqrt{e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2}} \cdot \sqrt{f_{1}^{2} + f_{2}^{2} + f_{3}^{2}}}

und damit

φ = {cos}^{- 1} (\frac{\vec{e} \cdot \vec{f}}{| \vec{e} | \cdot | \vec{f} |})

.
Insbesondere ist

\vec{e} \cdot \vec{f} = 0

genau dann, wenn

\vec{e}

und

\vec{f}

orthogonal zueinander sind.
Beachte, dass du damit auch Aussenwinkel

β

=180°

- φ

errechnen könntest. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ergibt bekanntlich 180° und damit kannst du meist die richtigen Winkel herausfinden.

Jackie251 aktiv_icon

23:46 Uhr, 04.11.2009

wenn man alle 3 seiten kennt, kann man auch einfach mit dem Cosinussatz die Winkel berechnen.
man braucht keine Vektoren kenne um die Aufgabe zu lösen. Gehts also bereits für die

9 - 10

Klasse

sebi2 aktiv_icon

02:20 Uhr, 05.11.2009

Ja danke für eure Antworten, nun wie setze ich aber die Zahlen ein,...
wenn ich gut in Mathe wäre, wäre ich doch nicht hier angemeldet oder?
Wir löst man nun die Zahlen?
MFG, danke!

Leuchtturm aktiv_icon

09:21 Uhr, 05.11.2009

Ich zitier mal die Aufgabenstellung:

"Berechne die Kantenlängen und die Innenwinkel im Dreieck."

Wenn man die Kantenlängen berechnet, merkt man schnell, dass es sich um ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck handelt.

Entschuldigt jetzt bitte meine Schreibweise, aber formal korrekt ist mir hier einfach zu aufwändig:

Länge AB:

B - A = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

c = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 0^{2} + 0^{2}} = 5

Länge BC:

C - B = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 4 \end{matrix})

a = \sqrt{0^{2} + {(- 3)}^{2} + 4^{2}} = 5

Länge AC:

b = \sqrt{50}

(vorrechnen spar ich mir)

Das Dreieck ist rechtwinklig

5^{2} + 5^{2} = 50

Der rechte Winkel liegt gegenüber der Hypothenuse, mithin

β = 90

Das könnte man jetzt leicht mit Hilfe des Skalarprodunktes beweisen, in dem man die Richtungsvektoren der Geradengleichungen AB und BC miteinander multipliziert. Also:

(\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 4 \end{matrix})

Was da rauskommt sieht man.
Und weil das Dreieck rechtwinklig un gleischenklig ist, müssen

α

und

γ

jeweils

45

groß sein.

sebi2 aktiv_icon

17:19 Uhr, 06.11.2009

Danke für alle die sich beteiligt haben!
Habe es geschafft!

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