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Komplexe Zahlen Quadrieren und Wurzeln ziehen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Formel, Komplexe Zahlen

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10:41 Uhr, 03.03.2018

Hallo,

ich sitze mal wieder vor einer Frage, auf die ich keine Antwort finde:

Gegeben ist die Gleichung

z^{2} - (2 + 4 i) z - (3 + 2 i) = 0

Nun wende ich die pq-Formel an:

Z = 1 + 2 i \pm \sqrt{{(\frac{- (2 + 4 i)}{2})}^{2} + (3 + 2 i)}

Wenn ich nun versuche das Quadrat unter der Wurzel zu berechnen komme ich auf

- {(1 + 2 i)}^{2} = {(- 1 - 2 i)}^{2} = (- 1 - 2 i) \cdot (- 1 - 2 i) = (1 - 4) + (2 + 2) i = - 3 + 4 i

Rechnen ich nun den teil unter der Wurze aus, so komme ich auf

(- 3 + 4 i) + (3 + 2 i) = 6 i

Die Lösung hingegen sagt, dass unter der Wurzel

2 i

stehen beleibt. Also habe ich wohl einen Vorzeichenfehler bei dem Quadrieren der Komplexen Zahl gemacht, aber ich weiß nicht wo.

Ich bin für jede Hilfe dankbar,

Viele Grüße

Copex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

10:57 Uhr, 03.03.2018

\sqrt{6 \cdot i}

ist vorerst schon korrekt.

6 \cdot i = 3 \cdot 2 \cdot i \Rightarrow \sqrt{6 \cdot i} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2 \cdot i}

Und

\sqrt{2 \cdot i} = 1 + i

Roman-22

10:58 Uhr, 03.03.2018

> - (1 + 2 i) 2 = (- 1 - 2 i) 2

falsch, denn:

- a^{2} \neq {(- a)}^{2}

Zu deinem Glück ist aber ohnedies

{(- a)}^{2},

also

{(- (1 + 2 i))}^{2}

zu berechnen. Also ist das Ergebnis richtig - unter der Wurzel kommt

6 i

raus.
Und

\sqrt{6 i} = \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot i

>

Die Lösung hingegen sagt, dass unter der Wurzel

2 i

stehen beleibt.
Bitte keine Bruckstücke. Was genau steht in der Lösung?

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11:11 Uhr, 03.03.2018

Danke für die schnellen Antworten. Die Lösung gibt folgendes Ergebnis vor:

z = 1 + 2 i \pm \sqrt{{(1 + 2 i)}^{2} + 3 - 2 i} = 1 + 2 i \pm \sqrt{2 i}

viele Grüße

Respon

11:15 Uhr, 03.03.2018

Vergleiche mal mit deiner Angabe !
Das vorgegebene Ergebnis wäre korrekt, hättest du in der Angabe

- (3 - 2 \cdot i)

. Du hast aber

- (3 + 2 \cdot i)

geschrieben.

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11:27 Uhr, 03.03.2018

Die vorgegebene Aufgabe lautete:

z^{2} - (2 + 4 i) z - 3 + 2 i = 0

und die zugehörige Musterlösung ist die, die ich oben gepostet habe. Habe alles nochmal auf Vorzeichendreher untersucht.

Liegt der Fehler in der Lösung?

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11:27 Uhr, 03.03.2018

Die vorgegebene Aufgabe lautete:

z^{2} - (2 + 4 i) z - 3 + 2 i = 0

und die zugehörige Musterlösung ist die, die ich oben gepostet habe. Habe alles nochmal auf Vorzeichendreher untersucht.

Liegt der Fehler in der Lösung?

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11:27 Uhr, 03.03.2018

Die vorgegebene Aufgabe lautete:

z^{2} - (2 + 4 i) z - 3 + 2 i = 0

und die zugehörige Musterlösung ist die, die ich oben gepostet habe. Habe alles nochmal auf Vorzeichendreher untersucht.

Liegt der Fehler in der Lösung?

Respon

11:30 Uhr, 03.03.2018

Du hast anfangs eine falsche Angabe hingeschrieben.

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11:42 Uhr, 03.03.2018

Wo denn genau? Macht es denn einen Unterschied ob ich in dem Term

- 3 + 2 i

oder

- (3 + 2 i)

schreibe? Immerhin ist

(3 + 2 i)

ja die komplexe Zahl.
Und meinen Fehler finde ich leider immer noch nicht. Kannst du mir vielleicht konkret sagen, was ich wo falsch gemacht habe?

Vielen Dank vorab

Respon

11:44 Uhr, 03.03.2018

Es handelt sich um vollkommen verschiedene Gleichungen und Lösungen.
Die angeblich richtige Angabe

: z^{2} - (2 + 4 \cdot i) - 3 + 2 \cdot i = 0

Deine Angabe

: z^{2} - (2 + 4 \cdot i) \cdot z - (3 + 2 \cdot i) = 0

Und ? Ist jetzt alles klar ?

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12:25 Uhr, 03.03.2018

Nein, ich stehe grade auf dem Schlauch.

Es gilt doch sowohl bei

z^{2} - (2 + 4 i) z - (3 + 2 i) = 0,

als auch bei

z^{2} - (2 + 4 i) z - 3 + 2 i = 0,

dass

p = - (2 + 4 i)

und

q = - (3 + 2 i)

oder? Schließlich bildet

3 + 2 i

die komplexe Zahl, die durch das das Minuszeichen als negativ betrachtet wird?

Worin unterscheidet sich denn die Rechnung, wenn ich die Klammer um

3 + 2 i

weglasse?
Gilt dann

X = - (\frac{p}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - (- 3) + 2 i}

oder

X = - (\frac{p}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} + 3 - 2 i}

?

Viele Grüße

ledum aktiv_icon

12:49 Uhr, 03.03.2018

Hallo
Klammern auflösen machst du falsch.

- (3 + 2 \cdot i) = - 1 \cdot (3 + i) = - 1 \cdot 3 + (- 1) \cdot 2 i = - 3 - 2 i

man kann nicht einfach Klammern weglassen und das Minus vor den ersten Term schreiben!
mit nicht komplexen Zahlen

: - (3 + 2) = - 5

weisst du schreibst aber

- (3 + 2) = - 3 + 2 = - 1,

siehst du jetzt deinen fehler?
Gruß ledum

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13:29 Uhr, 03.03.2018

Okay, soweit kann ich das nachvollziehen. Ich schreibe jetzt mal meinen ausführlichen Rechenweg und hoffe, dass du mir beim falschen Schritt nochmal einen Denkanstoß geben kannst. Ich glaube nämlich, dass ich die Klammern und Vorzeichen durcheinander schmeiße!
Also:

z^{2} - (2 + 4 i) z - (3 + 2 i) = 0

\Rightarrow p = (- 1) \cdot (2 + 4 i) = (- 2 - 4 i)

\Rightarrow q = (- 1) \cdot (3 + 2 i) = (- 3 - 2 i)

Einsetzen in pq-Formel:

x = - (\frac{- 2 - 4 i}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{- 2 - 4 i}{2})}^{2} - (- 3 - 2 i)}

x = (- 1) \cdot (- 1 - 2 i) \pm \sqrt{{(- 1 - 2 i)}^{2} - (- 3 - 2 i)}

x = 1 + 2 i \pm \sqrt{{(- 1 - 2 i)}^{2} - (- 3 - 2 i)}

Nebenrechnung:

{(- 1 - 2 i)}^{2} = (- 1 - 2 i) \cdot (- 1 - 2 i) = (1 - 4) + (2 + 2) i = - 3 + 4 i

Weiter:

x = 1 + 2 i \pm \sqrt{(- 3 + 4 i) - (- 3 - 2 i)}

Rechnung:

- 3 - (- 3) = 0

4 i - (- 2 i) = 6 i

\Rightarrow

Somit komme ich auf

x = 1 + 2 i \pm \sqrt{6 i}

Ich wäre dir wirklich sehr dankbar, wenn du mir sagen könntest, wo ich die Klammern falsch ausgerechnet habe. Ich finde den Fehler einfach nicht...

Roman-22

14:03 Uhr, 03.03.2018

Erst schreibst du, dass in der Angabe in Wirklichkeit

. .

- 3 + 2 i

steht und jetzt schreibst du schon wieder

... - (3 + 2 i)

.
Das ist nicht dasselbe!!

... - (3 + 2 i) = ... . - 3 - 2 i

Deinem Hinweis zur Musterlösung nach lautet die Angabe tatsächlich

... - 3 + 2 i

und das kannst du schreiben als

... + (- 3 + 2 i)

oder als

. . - (3 - 2 i),

aber nicht als

- (3 + 2 i)

.
Jetzt steht dann unter der Wurzel tatsächlich nur

2 i

und die Lösungen sind

z_{1} = i

und

z_{2} = 2 + 3 i

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14:23 Uhr, 03.03.2018

Danke!!! Jetzt versteh ich endlich den Zusammenhang zwischen Vorzeichen und Klammersetzung bei diesen Konstrukten!

Vielen Dank!

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