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Komplexer Logarithmus und Tangens

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Sonstiges

Tags: Komplexe Zahlen, Logarithmus, Natürlicher Logarithmus

Guender2 aktiv_icon

13:26 Uhr, 21.06.2021

Bestimmen Sie die folgenden Ausdrücke in kartesischer Form und Exponentialform, sowie deren Betrag.

(1) l n ((z_{3}^{4})) - 4 l n (z_{3})

wobei

z_{3} = z_{1} z_{2}

(2)

z_{2}^{3} - e^{3 l n z_{2}}

Beweisen Sie zudem den Ausdruck

(3) i t a n h (i z_{2}) = - t a n (z_{2})

(1) und (2): Soweit ich weiß, gelten ja die allgemeinen Logarithmusregeln bei dem komplexen Logarithmus nur unter bestimmten Bedingungen. Allerdings verstehe ich nicht ganz wie man damit umgeht/Ab wann ich die allgemeinen Regeln verwenden darf und wann nicht.

(3): Ich habe versucht den Ausdruck mit

\frac{e^{2 x} - 1}{e^{2 x} + 1}

zu berechnen. Allerdings komme ich nicht auf die oben in (3) angegebene Umformung. Könnte mir hierbei bitte jemand weiterhelfen? Dankeschön im Voraus!

Mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

haiopai aktiv_icon

17:44 Uhr, 21.06.2021

Hey,
ich hab grade deine Frage gesehen und denke du könntest vielleicht auf Max Academy gute Beispiele finden. Dort gibt es gerade zu höherer Mathematik sehr viele Übungsaufgaben mit detaillierten Lösungen. Daneben gibt es oft kleine Theoriezettel zu den Themen wo du bestimmt Antworten zu deinen Fragen findest.
www.max-academy.de

Viel Spaß!

Guender2 aktiv_icon

18:25 Uhr, 21.06.2021

Hallo, erstmal danke für die Antwort!

Allerdings finde ich leider bezüglich des komplexen natürlichen Logarithmus keine Rechenregeln, oder Beispiele.

Respon

22:51 Uhr, 21.06.2021

3)

z . z

i \cdot t a n h (i \cdot x) = - t a n (x)

t a n h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}

t a n h (i \cdot x) = \frac{e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x}}{e^{i \cdot x} + e^{- i \cdot x}} = \frac{cos (x) + i \cdot sin (x) - cos (x) + i \cdot sin (x)}{cos (x) + i \cdot sin (x) + cos (x) - i \cdot sin (x)} = \frac{2 \cdot i \cdot sin (x)}{2 \cdot cos (x)} = i \cdot tan (x)

i \cdot t a n h (i \cdot x) = i \cdot i \cdot tan (x) = - tan (x)

Hinweis

: cos (- x) = cos (x)

und

sin (- x) = - sin (x)

pwmeyer aktiv_icon

11:52 Uhr, 22.06.2021

Hallo,

die Frage nacb Rechenregeln für den komplexen Logarithmus ist komplex.

Man kann "ln" definieren, indem man einen Zweig fixiert. Dann kannst Du allgemeine Ansätze vür

z_{1}, z_{2}

(Betrag, Argument) machen und schauen, unter welchen Bedingungen, das mit der fixen Definition klappt.

Andere Leute fassen eine solche Gleichung als Mengenbeziehung auf,

d . h

ln (z)

steht für die Menge aller

w

mit

z = e^{w}

.

Was jetzt von Dir erwartet wird, kannst eigentlich nur Du und Dein Kurs wissen.

Gruß pwm

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