Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kompliziertes Integral mit Wurzel im Nenner

Kompliziertes Integral mit Wurzel im Nenner

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Nenner, Wurzel, Zähler ist 1

Christian1 aktiv_icon

02:44 Uhr, 25.10.2009

Ich habe ein Problem mit zwei verschiedenen Integrallen, die meiner Meinung nach aber dem gleichen Prinzip folgen. Mich interessiert eigentlich nur die jeweilige Stammfunktion, deshalb ist es in diesem Fall auch unwichtig, ob das Integral bestimmt oder unbestimmt ist. Ich werde diese Daten also nur der Vollständigkeit halber angeben.

Das erste (unbestimme) Integrall:

\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x

Das zweite (bestimme) Integrall (von 0 bis

1) : \int \frac{1}{{(4 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x

Ich habe schon alles erdenkliche ausprobiert, aber was mir wirklich Kopfzerbrechen macht ist, dass im Zähler bei beiden Integrallen lediglich eine 1 steht. Dadurch kann man beispielsweise beim ersten Integrall das durch die Substitution von

z = 1 + x^{2}

entstehende

\frac{1}{2 x}

nicht kürzen. Hier nochmal verdeutlicht:

\frac{1}{{(z)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x} d z .

Auch

x = sin (z)

zu substituieren ist in diesem Fall sinnlos und wäre bestenfalls nützlich, wenn man daraus

1 - {(sin (x))}^{2}

bekämme, da das wiederum equivalent zu

{(cos (x))}^{2}

ist.
Auch mit der partiellen Integration bin ich zu keinem Ergebnis gelangt und mit dem zweiten Integrall habe ich ähnliche Probleme.

Ich komme beim besten Willen nicht weiter und bin für jede Hilfe dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

03:34 Uhr, 25.10.2009

. .

michaL aktiv_icon

09:39 Uhr, 25.10.2009

Hallo Christian,

ich kenne eine Stammfunktion:

\int \frac{d x}{\sqrt{(x^{2} + 1)^{3}}} = [\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}]

. Durch Ableiten mit Quotientenregel und Zusammenfassen wird das schnell klar.

Ansonsten geht vielleicht die Kombination folgender Substitutionen:

1.

y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

, woraus sich letztlich (viel Umformen)

\int \frac{y}{1 - y^{2}}

, bei dem man im Zähler schon fast die Ableitung der inneren Funktion shene kann.
2.

z = 1 - y^{2}

Mfg Michael

Christian1 aktiv_icon

18:54 Uhr, 25.10.2009

Erstmal vielen Dank für die Hilfe, leider muss ich aber zugeben, dass ich die beiden Lösungswege nicht wirklich nachvollziehen kann. Wie du hier die Quotientenregel zum Einsatz bringst oder bei der zweiten Möglichkeit durch Umformen auf ∫

\frac{y}{1 - y^{2}}

kommst ist mir ein Rätsel.
Wenn es nicht mit zuviel Aufwand für dich verbunden wäre, fände ich es wirklich toll, wenn du mir die beiden Wege etwas ausführlicher erläutern könntest.

michaL aktiv_icon

20:15 Uhr, 25.10.2009

Hallo Christian,

Quotientenregel hilft nur, wenn du die Lösung schon kennst, dann kannst du ableiten (Quotientenregel ist ja eine Ableitungsregel) und schauen, ob die zu integrierende Funktion herauskommt. Kennst du die Quotientenregel?

Zum anderen: Als ich die Lösung kannte, habe ich mir überlegt, welche Substitutionen zum Ziel führen könnten und bin darauf gekommen:

y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

(denke daran, dass

(\sqrt{z})^{3} = \sqrt{z^{3}}

gilt)

\Rightarrow x = \sqrt{\frac{1}{y^{2}} - 1} \Rightarrow d x = \frac{d y}{y^{3} \sqrt{\frac{1}{y^{2}} - 1}}

\Rightarrow \int \frac{d x}{(\sqrt{x^{2} + 1})^{3}} = \int y^{3} \frac{d y}{y^{3} \sqrt{\frac{1}{y^{2}} - 1}} = \int \frac{d y}{\sqrt{\frac{1}{y^{2}} - 1}} = \int \frac{d y}{\sqrt{\frac{1 - y^{2}}{y^{2}}}} = \int \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y

So, da stecken so viele Rechenregeln drin, das reicht erst einmal. Von da aus "sieht" man das Ziel schon (mit ein bisschen Übung) oder findet die zweite von mir angegebene Substitution.

Mfg Michael

665508

665128

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?