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Kongruente Dreiecke
Universität / Fachhochschule
Tags: Dreieck, Geometrie, Kongruenz
 
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Hallo Community! Ich steh bei folgender Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch: vier Punkte, sodass je drei ein Dreieck bilden. Weiters sei das Dreieck kongruent zum Dreieck BB'A. Zeige, dass dann auch die Dreiecke A'AB' und B'BA' kongruent sind. Kongruenzen sind als Äquivalenzrelation definiert, wobei zwei Strecken AB und CD kongruent sind, wenn sie in der selben Äquivalenzklasse liegen, sprich "gleich lang" sind. Selbiges gilt für Winkel, wobei diese dann "gleich groß" sind. Für die Aufgabe habe ich folgende Sätze von Euklid zur Verfügung: - WSW Satz , SWS Satz, Nebenwinkel, Scheitelwinkel , SSS Satz, Winkel- und Streckenhalbierung, Außenwinkelsatz, SWW - Satz, SSW - Satz Das Anwenden und Verstehen der Sätze bereitet mir keine Probleme, da vorige Übungsaufgaben keine Probleme dartellten. Bei dieser Aufgabe stehe ich aber nun an, da ich auf keinen sinnvollen Ansatz komme. Vermutlich verwirrt mich die Veranschaulichung, die ich angehängt habe, zu sehr. Wäre über einen Schubser in die richtige Richtung dankbar. LG Telles  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, definiere als die Seitenmitte von und als den Schnittpunkt . (Wenn der nicht existieren sollte, dann sind die Seiten ja parallel, was Aussagen über Winkel zulässt.) Wegen (wegen SSW) (wegen SWS) (wegen SWS) Jetzt musst du nur die richtigen "S" und "W" zuordnen, dann hast du es. Mfg Michael |
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Mir erschließt sich noch nicht, warum ich als Schnittpunkt von AB′ ∩ BA′ verwenden soll. Wenn sie sich nicht schneiden, sind diese parallel, wobei ich diese Information nicht verwenden kann, da wir noch nicht über parallele Geraden gesprochen haben. |
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Wenn man zunächst das Dreieck ABA' betrachtet und es kongruent zu ABB' sein soll, gibt es für B' nur 4 mögliche Lagen. Betrachte jeden der 4 Fälle separat. PS: Ich vermute, dass ihr bei der Bezeichnung der Dreiecke für die Reihenfolge der Eckpunkte von einem bestimmten Umlaufsinn ausgeht, denn sonst wäre meine dritte Abbildung ein Gegenbeispiel.  |
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Für den Fall rechts oben hätte ich jetzt folgendes versucht: . Diese Kongruenzen sind ablesbar und laut Angabe möchte ich auf kommen. Wenn ich mir die Dreiecke einzeichne, sehe ich, dass und bereits gelten. Laut Nebenwinkelsatz sind die Nebenwinkel kongruenter Winkel kongruent, . Jetzt kann ich den SWS-Satz anwenden und erhalte somit gilt und und was wiederum zu beweisen war. Ist das so richtig? |
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Du brauchst in dem betrachteten Fall überhaupt keine Winkel. Die Dreiecke A'AB' und B'BA' besitzen beide die Seite A'B'. Wegen der Kongruenz des roten und des schwarzen Dreiecks sind AB' und A'B kongruent, ebenso AA' und BB'. Somit sind die Dreiecke A'AB' und B'BA' kongruent nach (sss). |
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Oh Mann, natürlich. Danke dir, dürfte jetzt für die anderen Fälle kein Problem mehr darstellen. |
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> Ich vermute, dass ihr bei der Bezeichnung der Dreiecke für die Reihenfolge der Eckpunkte von einem bestimmten Umlaufsinn ausgeht, denn sonst wäre meine dritte Abbildung ein Gegenbeispiel. In der Tat: Eine Angabe wie "Dreiecke und sind kongruent" kann man im engeren oder weiteren Sinn verstehen: Im engeren Sinne spielt die Reihenfolge der Eckenangabe eine Rolle, d.h. die obige Angabe ist direkt als Seitengleichheiten , und interpretierbar. In diesem Sinne ist das dann was anderes als die Aussage " und sind kongruent". Im weiteren Sinne sind beide Aussagen jedoch identisch, d.h., da gibt es nicht eine solche feste Zuordnung. In diesem weiteren Sinne hattet ihr die Aufgabe zunächst aufgefasst, das von dir genannte Gegenbeispiel spricht aber dagegen. Daher ist wohl doch Kongruenz im engeren Sinne gemeint, was die Auswahl auf die beiden Dreiecke rechts reduziert. |
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