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Koordinate mit Skalarprodukt berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Dreieck, Koordinate, Skalarprodukt

snoopy2peanuts aktiv_icon

11:13 Uhr, 05.04.2016

Hallo auch hier wieder stehe ich bei der unten angehängten Aufgabe voll auf dem Schlauch.
Ich habe die Unteraufgaben

a - c

problemlos lösen können - habe aber bei

d

keine blassen Schimmer was ich machen soll.
Ich weiß, dass man das Skalarprodukt zum Berechnen von Winkeln zwischen zwei Vektoren hernimmt aber hier brauch ich ja die Koordinate ???

kann ich das machen indem ich die hälfte von Alpha nehme und dann mit Hilfe von A und

C

ein neues Dreieck bilde ?

Würde mich über einen Denkanstoß freuen weiß nicht mal wo ich anfangen soll ???

Danke

Paulina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Skalarprodukt
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

12:41 Uhr, 05.04.2016

Hallo,

die Koordinaten von

F

sind

(\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \end{matrix})

. Die Gleichung der gestrichelten Geraden durch

F

und den Ursprung ist demzufolge:

\vec{x} = t \cdot (\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \end{matrix})

mit

t \in ℝ

Die Geradengleichung für

g

hast Du, die lautet:

\vec{x} = \vec{x_{0}} + s \cdot (\begin{matrix} g_{1} \\ g_{2} \end{matrix})

mit

s \in ℝ

Da beide Geraden orthogonal sind, muss gelten:

f_{1} \cdot g_{1} + f_{2} \cdot g_{2} = 0

Ausserdem ist

F

ein Punkt auf

g,

also gibt es ein

s \in ℝ,

so dass gilt:

(\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \end{matrix}) = \vec{x_{0}} + s \cdot (\begin{matrix} g_{1} \\ g_{2} \end{matrix})

Mit

\vec{x_{0}} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

ergibt sich daraus:

f_{1} = x_{1} + s \cdot g_{1} \Rightarrow f_{1} - s \cdot g_{1} = x_{1}

f_{2} = x_{2} + s \cdot g_{2} \Rightarrow f_{2} - s \cdot g_{2} = x_{2}

Diese drei Gleichungen zusammen ergeben ein lineares Gleichungssystem:

f_{1} - s \cdot g_{1} = x_{1}

f_{2} - s \cdot g_{2} = x_{2}

f_{1} \cdot g_{1} + f_{2} \cdot g_{2} = 0

Die Unbekannten sind

f_{1}, f_{2}

und

s

und es gibt drei Gleichungen. In Matrixdarstellung is das dann:

(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ g_{1} & g_{2} & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \\ s \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix})

rundblick aktiv_icon

15:35 Uhr, 05.04.2016

.
.. die Koordinaten von

F (u, v)

mit dem Skalarprodukt ..

\to

\vec{O F}

senkrecht zu

\vec{A B}

ist das Skalarprodukt

\vec{O F} \cdot \vec{A B} = 0

also

(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ - 2 \end{matrix}) = 0 . .

\Rightarrow 5 u - 2 v = 0

und da

F

auf der Geraden

g =

AB liegt,
erfüllen seine Koordinaten auch die Gleichung von

g

also

\Rightarrow v - 1 = - \frac{2}{5} \cdot (u - 8)

und damit hast du die Koordinaten von

F

als Lösung des Systems :

5 u - 2 v = 0

v - 1 = - \frac{2}{5} \cdot (u - 8)

fertig.

.. peanuts - oder ?
,

snoopy2peanuts aktiv_icon

15:44 Uhr, 05.04.2016

Vielen Dank - ihr habt mir sehr geholfen und nun ist das endlich klar.

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