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KoordinatenSysteme im KoordinatenSystem

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Vektorräume

Tags: Koordinaten, summierend, Ursprung, Vektorraum

 
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AarZeon

AarZeon aktiv_icon

17:50 Uhr, 05.10.2021

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Hallo Zusammen,

Ich habe ein Koordinaten System (K) welches als Ursprung dient.

Darin habe ich weitere Koordinaten Systeme:

Das erste (K’) liegt auf "0/0/7" jedoch kann ich dies in der X und Y Achse Drehen +A und +B in Grad. (A=5°, B=7°)

Das nächste Koordinaten System (K’’) hat den neuen Ursprung des Koordinaten System K’, dieses liegt nun auf 0’/0’/4’, dieses kann ich nun wiederum um die X und Y Achse Drehen +A’ und +B’ (A’=-3°, B’=4°)


Das nächste übernächste Koordinaten System (K’’’) hat den neuen Ursprung des Koordinaten System K’, dieses liegt nun auf 0’’/0’’/9’’ dieses kann ich nun wiederum auch um die X und Y Achse Drehen +A’’ und +B’’ (A’’=7°, B’’=-4°)


Jetzt würde ich gerne wissen wo K’ , K’’ , K’’’ im Koordinaten System K ist.

Ich habe die Aufgaben mit den obigen Parameter in einem 3D Programm gelöst, ich bräuchte aber eine Formel dafür, welche ich mit beliebig vielen Koordinatensysteme nutzen kann. In den angehängten Bilder findet Ihr die Lösung und in welcher Achse ich gedreht habe "(+/-)"

Vielen Dank für eure Hilfe.

Freundliche Grüsse
Aaron

Koordinaten Drehpunkte
Lösung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Antwort
N8eule

N8eule

18:21 Uhr, 05.10.2021

Antworten
Hallo
Ich möchte dir empfehlen, den Achsen der unterschiedlichen Koordinatensysteme zur Unterscheidung auch unterschiedliche Namen zu geben.
Ich nutze häufig
> für das Basis-Koordinatensystem (bei dir vielleicht "K"): x,y,z
> für ein beliebiges Koordinatensystem (bei dir vielleicht K'):u,v,w

Jetzt bieten auch professionelle Programme (wie z.B. CADs) Gleichungssysteme, wie:
x=c00+c01u+c02v+c03w
y=c10+c11u+c12v+c13w
z=c20+c21u+c22v+c23w

Hier siehst du leicht, der Vektor (c00;c10;c20) entspricht der Translation des einen Koordinaten-Ursprungs zum anderen.
Die restlichen Werte c... entsprechen einer Rotationsmatrix.
Und - auf diese Weise hast du ein lineares Gleichungssystem, aus dem du prinzipiell
> die Umkehrung bilden kannst, also aus obigem x,y,z=f(u,v,w) die Umkehrung u,v,w=f(x,y,z)
> oder beliebige Koordinaten-Größen in beliebige Größen anderer Koordinatensysteme umrechnen kannst, stets auf den Niveau linearer Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen.

AarZeon

AarZeon aktiv_icon

09:22 Uhr, 06.10.2021

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Hallo,

Danke für deine Antwort, leider habe ein wenig Probleme und die sehen wie folgt aus:

Punkt 1:
Länge des ersten Vektors v=7
Drehung um X Achse a=
Drehung um Y Achse b=

Mit folgender Matrix komme ich dann auf "0/0/7" für den Punkt 1 im Ursprungskoordinaten System

x=v(sin(b180π)cos(a180π))=0
y=v(-sin(a180π))=0
z=v(cos(b180π)cos(a180π))=7

Wenn ich nun weiter mache mit dem nächstem System für Punkt 2:

Länge des zweiten Vektors v'=5
Drehung um X' Achse c=
Drehung um Y' Achse d=

Mit folgender Matrix komme ich auf "0.607/-0.435/4.943", dies ist nun aber die Lösung wenn ich wieder um den Ursprung rechne.

x'=v'(sin(d180π)cos(c180π))=0.607
y'=v'(-sin(c180π))=-0.435
z'=v'(cos(d180π)cos(c180π))=4.943

Wie kann ich diese nun aufeinander Stapeln?

Gruss
Aaron

Antwort
Vlad Sloborodnyjesowicz

Vlad Sloborodnyjesowicz aktiv_icon

13:52 Uhr, 07.10.2021

Antworten
So würde ich es aufziehen:

Sn:=(MnR3 Position ,KnR3×3 Orthonormalsystem)     nN, wobei

Mn+1:=Mn+Knvn   mit vnR3   Verschiebungsvektor,

Kn+1:=Z(γn)Y(βn)X(αn)Kn
mit Z,Y,XR3×3 Drehmatrizen, γn,βn,αnR Winkel in Rad.


Beispiel:

S0:=((000),  (100010001)),

v0:=(037),γ0:=0,β0:=0,α0:=π4

M1:=M0+K0v0=(000)+(100010001)(037)=(037),

K1:=Z(0)Y(0)X(π4)K0

=(1000cos(π4)-sin(π4)0sin(π4)cos(π4))(100010001)=(100012-1201212),

also S1:=((037),  (100012-1201212)),

v1:=(1-20),γ1:=π2,β1:=0,α1:=0

M2:=M1+K1v1=(037)+(100012-1201212)(1-20)=(13-27-2),

K2:=Z(π2)Y(0)X(0)K1

=(cos(π2)-sin(π2)0sin(π2)cos(π2)0001)(100012-1201212)=(0-121210001212),

also S2:=((13-27-2),  (0-121210001212)),

usw...


Die Beispielschritte sind einfach gewählt,
weil ich zu Fuß gerechnet habe.


Die Drehachsen sind hier aber starr,
also immer Mn schneidende Parallelen
der X-,Y- bzw. Z- Achse des durch (100010001)
definierten Standard-Über-Raumes.
Sollten Drehungen um die jeweiligen Achsen der Kn gewünscht sein,
ist die Drehformel

Kn+1:=KnX(αn)Y(βn)Z(γn)

eine Alternative.

Beachte aber, dass dann im Allgemeinen Y(βn) nicht Kn,
sondern KnX(αn) um seine jeweilige Y- Achse dreht,
ebenso dreht Z(γn) nicht Kn, sondern KnX(αn)Y(βn)
um seine jeweilige Z- Achse.



Screenshot_20211007-131731_Chrome
Antwort
N8eule

N8eule

00:01 Uhr, 09.10.2021

Antworten
Hallo nochmals.
Also, ich bin jetzt mal dazu gekommen, mich weiter einzudenken.
Aber - weil dein Beispiel von 21-10-069:22h mit einer Drehung um
alpha=0°
beta=0°
furchtbar, furchtbar unlehrsam ungeschickt ist,
habe ich als Beispiel mal gewählt:
α=
β= 11°

*Achtung* hierbei müssen wir sehr präzise vereinbaren, wie und in welcher Weise und Reihenfolge wir die Winkel verstehen und verwickeln.
Also, ich nehme das Koordinatensystem (x,y,z) als Basis-System, das ich mir unverrückbar raumfest vorstelle.

Platzieren wir das (u,v,w) -System hierzu.
Ausgehend von Parallelität zu x,y,z,d.h. von x=u,y=v,z=w
a)
drehe ich zunächst das uvw-System um die x-Achse rechts-drehend positiv um den Winkel α.
b)
Dann drehe ich das so verdrehte uvw-System um die
Y-Achse (des xyz-Systems)
rechts-drehend positiv um den Winkel β.

Translationen lass ich jetzt auch mal weg.

Ich hoffe, wir kommen auf Grundlage dieser Definition zu einheitlich verständlicher Drehmatrix und Gleichungssystem:
x=cos(β)u+sin(α)sin(β)v+cos(α)sin(β)w
y=0u+cos(α)v-sin(α)w
z=-sin(β)u+sin(α)cos(β)v+cos(α)cos(β)w

Mit den Beispiel-Winkeln
α=
β= 11°
eben folglich:
x=0.981627183u+0.029849103v+0.18845982w
y=0u+0.987688341v-0.156434465w
z=-0.190808995u+0.153560323v+0.969541724w



So jetzt, drittes Koordinatensystem.
Ich ahne und verstehe dich so, dass du das zunächst auf das zweite Koordinatensystem, das uvw-System referenzieren willst.
Und wiederum meine Empfehlung: Um Schreibarbeit und Verwechslung zu vermeiden: bitte eindeutige (kurze) Bezeichner und Namen. Ich nenne die Achsen dieses dritten Koordinatensystems f,g,h, und damit dieses dritte Koordinatensystem 'fgh'-System.
Wir werden uns sicherlich am Leichtesten tun, wenn wir wieder die selbe Definition nutzen, um die selben mathematischen Zusammenhänge nutzen zu können.
Also:
Ich stelle mir das uvw-System drehfest raumfest vor, und orientiere das fgh-System
> ausgehend von f=u;g=v;h=w
> indem ich das fgh-System um die u-Achse rechts-drehend positiv um den Winkel γ drehe,
> anschließend dieses so interims-verdrehte System
um die v-Achse
rechts-drehend positiv um den Winkel δ drehe.

So konsequent vorgegangen, bleiben natürlich die Formel-Zusammenhänge die selben. Wir brauchen nur die Bezeichner auszutauschen:
u=cos(δ)f+sin(γ)sin(δ)g+cos(γ)sin(δ)h
v=0f+cos(γ)g-sin(γ)h
w=-sin(δ)f+sin(γ)cos(δ)g+cos(γ)cos(δ)h

Hier nehme ich gerne die Beispielwerte von dir:
γ=
δ=

Folglich (einsetzen):
u=0.992546152f+0.010621613g+0.121405594h
v=0f+0.996194698g-0.087155743h
w=-0.121869343f+0.086506097g+0.988769214h


So weit zur Vorbereitung. So, nun zur eigentlichen Aufgabe.
Ich habe aus deinen Anliegen entnommen, du willst nun einen Vektor aus dem fgh-System in das Basis- xyz-System um- und zurück-rechnen und ausdrücken.
Nichts leichter als das.
Einfach das erste Gleichungssystem in das zweite einsetzen:

x=0.981627183u+0.029849103v+0.18845982w
x=0.981627183[0.992546152f+0.010621613g+0.121405594h]+0.029849103[0f+0.996194698g-0.087155743h]+0.18845982[-0.121869343f+0.086506097g+0.988769214h]

y=0u+0.987688341v-0.156434465w
y=0[0.992546152f+0.010621613g+0.121405594h]+0.987688341[0f+0.996194698g-0.087155743h]-0.156434465[-0.121869343f+0.086506097g+0.988769214h]

z=-0.190808995u+0.153560323v+0.969541724w
z=-0.190808995[0.992546152f+0.010621613g+0.121405594h]+0.153560323[0f+0.996194698g-0.087155743h]+0.969541724[-0.121869343f+0.086506097g+0.988769214h]

ausrechnen:
x=0.951342809f+0.056464906g+0.302916778h
y=0.019064566f+0.970397353g-0.240760294h
z=-0.307544147f+0.234820551g+0.922104065h

Fertig!
:-)

Frage beantwortet
AarZeon

AarZeon aktiv_icon

16:33 Uhr, 09.10.2021

Antworten
Vielen Dank für die Hilfe, das mit dem Drehen versteh ich nun einiger Massen. Jedoch benötige ich mit deinem Lösungsweg mehrere Gleichungssysteme...

Im folgendem Beitrag habe ich eine Formel erhalten die ohne Gleichungssystem funktioniert hatte.

www.onlinemathe.de/forum/Vektor-mit-zwei-Winkel-drehen

Leider sind meine Drehungen nicht mehr nur noch um 2 Achsen sondern um 3 Achsen. Und die Drehung wird nicht mittels Winkel angegeben sondern Durch 3 Punkte / eine Ebene.

Ich habe beim anderen Post ein Update hinzugefügt.
www.onlinemathe.de/forum/Lokales-Koordinatensystem

Gruss Aaron
Antwort
N8eule

N8eule

17:07 Uhr, 09.10.2021

Antworten
Wie's geht, steht in
www.onlinemathe.de/forum/KoordinatenSysteme-im-KoordinatenSystem
oder auch (wie selbst verwiesen) in
www.onlinemathe.de/forum/Vektor-mit-zwei-Winkel-drehen
PS: Das ist übrigens beides mal das selbe Prinzip, nur mal als Gleichungssystem angesprochen, mal als Matrix.
Aber die Prinzipien sind die selben.

"Würde ich dies mit einem Gleichungssystem Lösen, müsst ich jedes mal wenn die Parameter ändern diese neu lösen."
Ja, das ist typisch in der Mathematik.
Jedes mal, wenn ich in der Bank einzahle, müssen die die Einzahlung buchen.
Jedes mal, wenn du dein Auto beschleunigst, muss der Tacho aus der Drehzahl die Tachoanzeige neu errechnen.

Antwort
Vlad Sloborodnyjesowicz

Vlad Sloborodnyjesowicz aktiv_icon

21:08 Uhr, 10.10.2021

Antworten
www.onlinemathe.de/forum/Vektor-mit-zwei-Winkel-drehen

Das war ich mit einem meiner früheren Profile.



Abschließend möchte ich noch mein hier zuvor gezeigtes Formelwerk

speziell für Deine Belange zurechtgestutzt zeigen.


Sn:=(MnR3 Position ,KnR3×3 Orthonormalsystem)     nN, wobei

Mn+1:=Mn+vnKnz   mit vnR   Verschiebungsskalar
und KnzR3 der dritten Spalte von Kn (der z-Achse von Kn),

Kn+1:=KnX(αn)Y(βn)
mit X,YR3×3 Drehmatrizen, αn,βnR Winkel in Rad.




Gemäß Deines allerersten Beiträgs kommen dann

v0=7,α0=5π180,β0=7π180,

v1=4,α1=3π180,β1=4π180,

v2=9,α2=7π180,β2=4π180

zur Anwendung.