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Koordinatenberechnung eines Eckpunktes im Dreieck

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Dreieck, Gleichungssystem, polynom, Pythagoras

kellokz aktiv_icon

18:17 Uhr, 03.01.2020

Hey leute ich versuche die Koordinaten eines Eckpunktes im Dreieck zu bestimmen und bin mir mit meiner Berechnung etwas unsicher.
Es würde mir wirklich sehr helfen, wenn sich jemand die Zeit nehmen könnte einen Blick auf die Berechnung zu werfen, um zu gucken ob und wo ich Fehler gemacht habe.
Vielen Dank schonmal an alle die sich das hier angucken.

gegebene Daten zu dem Dreieck:
Eckpunkte:

A (10,0)

B (5,8 . 66)

Seitenlängen:

a = 5

b = 7

Der Punkt

C

ist zu bestimmen.

Für die Berechnung habe ich mit dem Satz des Pythagoras ein Gleichungssystem erstellt.

I)

{(x_{C} - 10)}^{2} + {(y_{C})}^{2} = b^{2}

II)

{(x_{C} - 5)}^{2} + {(y_{C} - 8,66)}^{2} = a^{2}

Ausmultiplizieren von Gleichung II

III)

x_{C}^{2} - 10 x_{C} + 25 + y_{C}^{2} - 17,32 y_{C} + 75 = a^{2}

Ausmultiplizieren von Gleichung I

IV)

x_{C}^{2} - 20 \cdot x_{C} + 100 + {(y_{C})}^{2} = b^{2}

Gleichung III-IV
(V)

10 x_{C} - 17,32 y_{C} = a^{2} - b^{2}

Gleichung nach

y_{C}

umformen
(VI)

y_{C} = \frac{10 x_{C} + b^{2} - a^{2}}{17,32}

VI in IV einsetzen.

x_{C}^{2} - 20 \cdot x_{C} + 100 + \frac{{(10 x_{C} + b^{2} - a^{2})}^{2}}{300} = b^{2} | \cdot 300

300 x_{C}^{2} - 6000 x_{C} + 30000 + {(10 x_{C} + b^{2} - a^{2})}^{2} = 300 b^{2}

binomische Formel auflösen.

300 x_{C}^{2} - 6000 x_{C} + 30000 + 10 x_{C}^{2} + 20 \cdot (b^{2} - a^{2}) x_{C} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 300 b^{2}

Daraus ergibt sich die quadratische Gleichung:

310 x_{c}^{2} - 6000 x_{C} + 20 \cdot (b^{2} - a^{2}) x_{C} + 30000 + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 300 b^{2}

x_{C}^{2} - 19,35 x_{C} + 0,065 \cdot (b^{2} - a^{2}) x_{C} + 96,775 + \frac{{(b^{2} - a^{2})}^{2}}{310} - 0,967 \cdot b^{2} = 0

Durch das Einsetzen von a und

b

kann man mithilfe der p-q-Formel nun die

x

und

y

Koordinaten des gesuchten Punktes

C

bestimmen.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

19:07 Uhr, 03.01.2020

hallo
alles richtig, da a und

b

gegeben sind hätte ich die gleich eingesetzt, das vereinfacht die Rechnungen.
deine 2 Gleichungen, die du Pythagoras nennst sind doch eigentlich die Kreise um A und

B,

die du dann schneidest.
Gruß ledum

kellokz aktiv_icon

19:42 Uhr, 03.01.2020

Danke für die schnelle Antwort.
Ich muss die Formel in einem Programm umsetzen wo die Seitenlängen a und

b

variieren, deswegen hab ich sie nicht eingesetzt.

Ich habe mal für

b = 7

und

a = 4

eingesetzt.

Für die pq-Formel ergibt sich so

x 1 = - 15,125 + \sqrt{{(- \frac{15,125}{2})}^{2} - 49,498}

x 1 = 10,336

y 1 = \frac{10 \cdot 10,336 + b^{2} - a^{2}}{17,32}

y 1 = 7,872

x 1 = - 15,125 - \sqrt{{(- \frac{15,125}{2})}^{2} - 49,498}

x 1 = 4,788

y 1 = \frac{10 \cdot 4,788 + b^{2} - a^{2}}{17,32}

y 1 = 4,6702

Wenn ich mir das mal die Berechneten Punkte im Koordinatensystem anschaue stelle ich fest, dass nur einer der beiden Punkte den korrekten Abstand hat.
Woran liegt das?

Roman-22

20:13 Uhr, 03.01.2020

>

Woran liegt das?
Offenbar hast du dich irgendwo verrechnet. Ich hab deine Rechnung jetzt nicht nachvollzogen, aber es ist auch deine zweite Lösung nicht ganz richtig.

Die Lösungen für

a = 4

und

b = 7

sind

C_{1} (8,56805841 / 6,85197368)

C_{2} (4,78186899 / 4,66595207)

Nur bei

C_{2}

erfolgt die Benennung der Eckpunkte wie üblich alphabetisch im Gegenuhrzeigersinn.

Die allgemeine Lösung in a und

b

findest du im Anhang (das verwendete Programm liefer die Lösungen zeilenweise

-

in der ersten Spalte liest man also die beiden x-Koordinaten ab)

kellokz aktiv_icon

12:49 Uhr, 04.01.2020

Danke für deine Antwort Roman.
Dann weiß ich jetzt wenigstens schonmal wann ich richtig gerechnet habe :-D)
Hat jemand vielleicht eine Ahnung wo ich mich verrechnet habe?
Ich kann den Fehler irgendwie nicht finden.

ledum aktiv_icon

13:51 Uhr, 04.01.2020

Hallo
ein Fehler, den ich beim ersten mal übersehen hatte:
(10x_C+b^2−a^2)^2 falsch ausgerechnet, statt

100 x_{c}^{2}

hast du nur

10 x_{c}^{2}

Gruß lul

kellokz aktiv_icon

15:06 Uhr, 04.01.2020

Oh Super dass dir das noch aufgefallen ist!
Ich bedanke mich ganz herzlich :-)

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