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Kovarianz Formel umstellen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

11:39 Uhr, 22.10.2012

Hallo, welche Schritte werden vorgenommen, damit

\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) (x_{i} - \bar{x}) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) x_{i} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) y_{i}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

20:51 Uhr, 22.10.2012

1) \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) \cdot (x_{i} - \bar{x})

2) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) \cdot x_{i} - (y_{i} - \bar{y}) \cdot \bar{x}

oder

3) = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) \cdot y_{i} - (x_{i} - \bar{x}) \cdot \bar{y}

...ich mach mal nur für

2)

weiter

4) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) \cdot x_{i} - \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) \cdot \bar{x}

5) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) \cdot x_{i} - (\sum_{i = 1}^{n} y_{i} \cdot \bar{x} - \sum_{i = 1}^{n} \bar{y} \cdot \bar{x})

6) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) \cdot x_{i} - (\bar{x} \cdot \sum_{i = 1}^{n} y_{i} - \bar{y} \cdot \bar{x} \sum_{i = 1}^{n} 1)

nun ist ja

\sum_{i = 1}^{n} 1 = n

und somit

\bar{y} \cdot \sum_{i = 1}^{n} 1 = \bar{y} \cdot n = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}

da ja der Mittelwert gebildet wird aus:

\bar{y} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} y_{i})

Deshalb ist dann

\bar{y} \cdot \bar{x} \sum_{i = 1}^{n} 1 = \bar{x} \cdot \sum_{i = 1}^{n} y_{i}

7) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) \cdot x_{i} - (\bar{x} \cdot \sum_{i = 1}^{n} y_{i} - \bar{x} \cdot \sum_{i = 1}^{n} y_{i})

8) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) \cdot x_{i}

. .

. der Weg ab 3 ist analog, oder entsteht durch entsprechende Transformation (Tauschen) von

x

und

y,

da ja die Ausgangsformel invariant gegenüber des Variablentausches ist.

;-)

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