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Lage Ebene - Gerade mit Parametern

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, eben, Gerade, Vektorraum

florian1x aktiv_icon

13:15 Uhr, 28.01.2010

Hallo,
ich brauche Hilfe bei folgendem Problem.

geg.:

E : x = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{matrix})

g : x = (\begin{matrix} a \\ 3 \\ 5 \end{matrix}) + λ_{2} \cdot (\begin{matrix} b \\ 4 \\ 4 \end{matrix})

ges.:

a, b

für die Fälle,

. .

a .) . .

. dass sich die Gerade und die Ebene schneiden

b .) . .

. dass die Gerdae in der Ebene liegt

c .) . .

. dass es keinen Schnittpunkt gibt

Meine Ansätze waren nun:

zu

a) a

ist eigentlich beliebig wählbar und für

b

sollte man schaun dass die beiden richtungsvektoren sich nicht über ein skalar des richtungsvektors der Geraden bilden lässt.

zu

b) a

sollte so gewählt werden, dass der Ortsvektor von

g \in E

liegt.

b

sollte so gewählt werden, dass der RV von

g

sich über ein skalar aus einem von

E

bilden lässt.
zu

c) g

und

E

sind parralel, und der Ortsvektor von

g

liegt nicht in der Ebene

soweit so gut. Aber ich habe keine Ahnung wie ich das realieren soll.

Ich hab hier schon paar Blätter mit meinem Kollegen mit Versuchen gefüllt. Kamen aber nie zum Ergebnis. Hoffe ihr könnt mir da helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

13:36 Uhr, 28.01.2010

Hallo florian

Gemeinsame Punkte zwischen Ebene und Gerade findet man durch gleichsetzen der beiden Parametergleichungen. Probiers doch mal und schau, was sich dabei so an Bedingungen ergibt ;-)

lg josef

funke_61 aktiv_icon

14:06 Uhr, 28.01.2010

Kommst Du auch auf diese Gleichung:

(\begin{matrix} 1 & 2 & - b \\ 1 & 5 & - 4 \\ 2 & 7 & - 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} λ \\ μ \\ λ_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

oder habe ich mich verrechnet?

!!!

edit: hab ich später verbessert

!!!

florian1x aktiv_icon

14:46 Uhr, 28.01.2010

Das mit dem Gleichsetzten war mir schon klar.
Nur komme ich da auf das Gleichungsystem

(\begin{matrix} 1 & 2 & - b \\ 1 & 5 & - 4 \\ 2 & 7 & - 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} λ \\ μ \\ λ_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

bin mir auch nicht genau sicher ob das richtig ist.

Aber für mich ergibt das ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 unbekannten.

und das kann ich soweit ich weiss nicht lösen.

funke_61 aktiv_icon

15:07 Uhr, 28.01.2010

Du hast Recht,
Dein Gleichungssystem stimmt (fast)! meins war falsch, da ich hinten den Vektor falsch rum angeschrieben habe (und ich einen Fehler in der letzten Spalte meiner Matrix hatte). Ich werde das oben gleich noch verbessern.
!!!Vorsicht: in der letzten Spalte Deiner Matrix steht ein

- 5!

das sollte eine

- 4

sein!!!! Erkennt man auch am Richtungsvektor der Geraden ;-)

Aber da gab es doch Kriterien für die Lösbarkeit eines Linearen Gelichungssystems ;-)

Stichwort: Determinante einer Quadratischen Matrix ;-)

florian1x aktiv_icon

19:27 Uhr, 28.01.2010

Ok hab mich mal ein bissle zu dem Stichwort durch gegoogelt, aber ich kann nicht viel damit Anfangen. Also was vlt hilfreich wäre ist, dass eine Determinatne immer null ist wenn

min

. 2 Vektoren linear abhängig sind.

Wobei wir ja das Gegenteil wollen.

danie aktiv_icon

20:01 Uhr, 28.01.2010

Ich denke ich würde das mit dem Gauss- Verfahren machen, also die drei Gleichungen in Stufenform bringen,
dann habe ich zum Schluss b= -a stehen, wenn ich mich nicht vertan habe, wenn dann b und a 0 sind, dann liegt g in E, wenn b=0 und a ungleich 0, dann sind sie parallel, und wenn nur b ungleich 0 ist,( a ist dann egal ) dann haben sie einen Schnittpunkt

florian1x aktiv_icon

20:13 Uhr, 28.01.2010

Ja das mit

a = - b

hatte ich auch schonmal raus aber damit konnte ich nix anfangen.

ich werde das mal eben überprüfen
ich habs dann aber mit einsetzten gelöst gehabt statt mit Gauss aber is ja egel :-)

funke_61 aktiv_icon

21:34 Uhr, 28.01.2010

Hallo Florian,

vielleicht hilft Dir dieser Hinweis:
"Bei einem quadratischen Gleichungssystem gibt die Determinante Auskunft über die Lösbarkeit. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist" Zitat aus dem Abschnitt "Lösbarkeit" des Wikipedia-Artikels
http//de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem

Als Ergebnis bekam ich für die Determinante dieses linearen Gleichungssystems (Entwicklung nach der ersten Zeile)
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_(Mathematik)#Laplacescher_Entwicklungssatz

| \begin{matrix} 1 & 2 & - b \\ 1 & 5 & - 4 \\ 2 & 7 & - 4 \end{matrix} | = 1 | \begin{matrix} 5 & - 4 \\ 7 & - 4 \end{matrix} | - 2 | \begin{matrix} 1 & - 4 \\ 2 & - 4 \end{matrix} | - b | \begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 7 \end{matrix} | = 8 - 8 + 3 b = 3 b

Also sollte dieses Gleichungssystem immer dann eine eindeutige Lösung haben, wenn

b \neq 0

ist.

Auf der anderen Seite hat es entweder unendlich viele Lösungen oder keine Lösung, wenn

b = 0

ist. Alle anderen Fragen lassen sich für

(b = 0)

dann anschaulich vielleicht am besten aus den Parametergleichungen der Ebene und der Gerade in Form von dem Zweck angepassten linearen Gleichungssystemen bestimmen. Hat jemand einen besseren Vorschlag?

Rausbekommen habe ich übrigens, dass für

b = 0

und gleichzeitig

a = 0

die Gerade in der Ebene enthalten ist (also unendlich viele Lösungen) Habe ich mich verrechnet?

Dann sollte für jedes für

b = 0

und gleichzeitig

a \neq 0

die Gerade parallel zur Ebene liegen und somit keine Lösung des linearen Gleichungssystems existieren. Schließe ich richtig?

lg josef

florian1x aktiv_icon

22:01 Uhr, 28.01.2010

Das find ich doch mal eine gute Erklärung, die macht für mich Sinn. Ich denke damit ist dann für mich auch alles geklärt.
Danke euch. Die Aufgabe hat mich gewurmt.

funke_61 aktiv_icon

22:07 Uhr, 28.01.2010

also mir hats Spaß gemacht, dahinter zu steigen ;-) ich bin mir aber noch nicht ganz sicher, ob's so auch wirklich korrekt ist.

florian1x aktiv_icon

22:08 Uhr, 28.01.2010

ja ich schau mir das grad alles nochma genau an. Klingt aber bisher schlüssig.

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