 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Lagebeziehung Gerade/Gerade
Lagebeziehung Gerade/Gerade
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: eben, Gerade, karthesisches Koordinatensystem, Normalform, orthogonalität
 
|
  |
|---|
|
Gegeben sind die Gerade g:x= (0/3/4) + r* (-1/2/1) (<-- geradengleichung in parameterform) sowie der Punkt (2|2|2). a) Gesucht ist ein Punkt Q auf der Geraden G, sodass die Gerade h durch P und Q orthogonal ist zu g. b) Gesucht ist eine weitere Gerade k durch den Punkt Q, welche zu den beiden Geraden g und h orthogonal ist. LÖSUNGSANSATZ: Für a) als Bilddatei angehängt. [Habe versucht mit dem Ortsvektor und der Tatsache, dass die Normalenvektoren orthogonal sein die Geradengleichung h aufzustellen. Bei der Schnittpunktuntersuchung auf Widerspruch gestoßen.]  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ebene Geometrie - Einführung Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) |
|
 |
|
Das Problem ist dass es ja unendlich viele Richtungsvektoren gibt, die senkrecht zu g stehen. Bei a) muss man mit dem Skalarprodukt arbeiten. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander wenn ihr Skalarprodukt null ist. Hier geht es um den Richtungsvektor von g und den Vektor PQ, wobei Q(-r|3+2r|4+r) ein allgemeiner Punkt der Geraden g ist. |
 |
|
Ich habe doch das Skalarprodukt für die Suche nach dem Richtungsvektor angewendet! Nur wie ich auf Punkt Q komme, weiß ich nicht. Könntest du das eventuell noch einmal erläutern? |
|
|
|
Ist mir schon klar, dass du da das Skalarprodukt angewendet hast, nur hast du damit ja nur einen möglichen Vektor erhalten, der senkrecht zu g steht und wer sagt dir dass dieser genau der ist, der g und h letztendlich zum Schnitt führt ? Wie du ja gesehen hast gibt es einen Widerspruch und somit verlaufen die Geraden aneinander vorbei (windschief). Wie gesagt musst du hier rg*PQ=0 nach r auflösen. |
|
|
|
Aber der Vektor h wird doch eindeutig definiert durch den Punkt P und der Voraussetzung das er orthogonal zu g ist, oder nicht? *grübel* Naja, ich bedanke mich mal dafür, dass du antwortest! :-) |
|
|
|
Ja eben, deswegen kannst du ja nicht einfach auf gut Glück eine Komponente beim Richtungsvektor von h null setzen. Zudem sehe ich gerade dass dein Richtungsvektor eigentlich sogar ganz falsch ist, rg*rh ergeben nicht null sondern 4. Mögliche Richtungsvektoren für h wären (2;1;0) oder (0;1;-2) oder (1;1;-1) oder... Scheinbar sträubst du dich meinen Ansatz zu verwenden, aber das musst du dann halt selber wissen ;-) |
|
|
|
Oh, verdammt.. Doofer Rechenfehler! Also ich versteh leider diese "Formel" von dir für Q nicht. Hab das Problem bei Mathe, das ich immer versuche alles zu verstehen, und deswegen kann ich Formeln nicht ausstehen. Ich hoffe deine Formel nimmt mir das nicht persönlich ;-) Könntest du mir eventuell den Lösungsweg aufschreiben? |
|
|
|
Diese "Formel" kommt ja jetzt nicht aus dem Nichts, ich habe ja sogar erklärt wie sie zustande kommt. Sie entsteht einzig und allein daraus, dass zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen wenn ihr Skalarprodukt null ist - das brauchst du hier nun mal. Und offenbar kennst du das Skalarprodukt zweier Vektoren ja wie du vorhin sagtest ;-) Insofern finde ich deinen Vorwurf irgendwie seltsam... Q ist wie gesagt ein allgemeiner Punkt der Geraden, denn die Gerade besteht ja aus allen Punkten mit den Koordinaten x=-r und y=3+2r und z=4+r Das ist also einfach der Geradenvektor als Punkteschar ausgedrückt. Mag sein, dass ihr einen anderen Weg für diese Aufgabe einschlagen sollt aber ich weiss natürlich nicht was ihr gerade so im Unterricht macht ;-) |
|
|
|
Ich versteh ja, dass ich das Skalarprodukt brauche. In meinem Verständnis bildet dann der Richtungsvektor, den ich durch das Skalarprodukt bestimmt habe, und der Ortsvektor (2/2/2) dann den Vektor h, der den Punkt Q auf h orthogonal schneiden soll. Ist das richtig bis dahin? Ich befürchte nämlich nicht^^ Wo ist denn der Punkt bei dem ich die Formel rg*PQ=0 einsetzen muss? |
|
|
|
Ich glaube du denkst zu kompliziert =) Du redest auch immer vom Vektor h, h ist doch eine Gerade. Ich versuche das Problem nochmal zu schildern: P ist ein Punkt, der nicht auf der Geraden g liegt. Man kann jetzt P mit einem Punkt Q auf der Geraden so verbinden, dass der Vektor PQ genau senkrecht zu der Geraden g steht, also senkrecht zum Richtungsvektor von g. Da PQ und der Richtungsvektor von g also senkrecht zueinander stehen muss das Skalarpodukt dieser beiden Vektoren null sein. Nun kennt man den Punkt Q natürlich noch nicht. Aber was man weiss ist, dass er auf g liegt. Insofern kann man ihn, wie oben geschildert ganz allgemein in Abhängigkeit des Geradenparameters r als einzige Unbekannte, angeben. Der Rest ist dann nur noch Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ausrechnen und gleich null setzen. Damit entsteht dann eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten r, die man nach nach r auflösen kann. Und wenn man r dann hat, kann man es wiederum in Q (oder g) einsetzen und damit hat man dann gesuchten Punkt Q auf g. |
|
|
|
Hm, es stellt sich mir immer noch ein bisschen in den Weg, aber ich weiß jetzt zumindestens ein wenig wie du dir das vorstellst. Habe mir deinen Lösungsweg eben auch nochmal aufgeschrieben und werd das morgen noch mit einer Freundin anschauen. Ich danke dir trotzdem für deine Bemühungen! Mein Kopf will heute wohl einfach nichts mit Mathe zu tun haben. Es liegt an mir ;-) Zu meiner Verteidigung muss ich sagen, dass die Aufgabe in unserem Mathebuch rot markiert ist und wir sie nur als Extrahausaufgabe mitbekamen... Ich werde es also sicher noch verstehen ;-) Trotzdem gehe ich jetzt erstmal ins Bett^^ Wünsche dir einfach auch noch eine gute Nacht :-) Werd mich morgen bestimmt nochmal melden, wenn sich das Problem geklärt hat! |
|
|
|
Hast aber tapfer durchgehalten ;-) Wenn du das für morgen haben musst und nicht mehr drauf kommst werd ich es dir später nochmal kurz vorrechnen. Also schau morgen früh nochmal kurz rein wenn du magst =) Ich wünsche dir auch eine gute Nacht. Bin gespannt welchen Lösungsweg ihr morgen besprechen werdet. Bis morgen. Gruß Björn |
|
|
|
a) Das Skalarprodukt aus rg=(-1;2;1) und PQ=(-r-2;2r+1;r+2) soll also null werden: -1(-r-2)+2(2r+1)+r+2=0 <=> 6r=-6 <=> r=-1 ---> Q(1|1|3) b) Man braucht einen Vektor, der senkrecht zum Richtungsvektor von g und h steht. Einen solchen Vektor erhält man z.B. durch das Kreuzprodukt beider Richtungsvektoren. Damit kommt man auf k:x=(1;1;3)+t(1;0;1) Alternativ erhält man den Richtungsvektor von k durch ein LGS. Gesucht ist ja ein Vektor (x;y;z) der senkrecht zu rg und rh steht. Somit müssen die beiden daraus entstehenden Skalarprodukte null werden: -x+2y+z=0 -x-y+z=0 Subtrahiert man beide Gleichungen voneinander folgt 3y=0 <=> y=0 und damit x=z Mit x=z=1 käme man damit ebenfalls auf (1;0;1) als Richtungsvektor von k. |
 |
|
So, habe deine Lösungen gerade noch rechtzeitig erhalten... In 10 Minuten fängt der Matheunterricht an ;-) Danke auch für die Lösung für b) die ich sogar komplett nachvollziehen kann! Bei der a) hat mir meine Freundin auch nochmal auf die Sprünge geholfen. Die ist nämlich nicht so schwer von Verstand, wie ich und hat verstanden was du wolltest ;-) Werde nochmal nachher schreiben, wie unsere Lehrerin sich unsere Lösung vorgestellt hat! Liebe Grüße, Anne |
|
|
|
Freut mich dass es dir geholfen hat =) Dann viel Spaß beim Matheunterricht und bis später. Gruß Björn |
|
|
|
Die Hausaufgabe wurde eingesammelt und noch nicht besprochen. Super^^ |
|
|
|
Naja dann nächste Woche bestimmt =) Kannst dich ja dann nochmal melden. |
|
|
|
Mach ich. |
765625
765200