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Limes als bestimmtes Integral darstellen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

linaPi aktiv_icon

13:27 Uhr, 15.06.2011

Hallo ihr Lieben!
Ich habe ein Problem bei diesem Beispiel, ich hab keine Ahnung was ich da machen soll, ich versuche es schon die ganze Zeit! Habs auch gegoogelt und nichts gefunden!!
Bittebitte helft mir :-)

Ist

f (x)

im Intervall

[a, b]

stetig so gilt:

lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (a + \frac{k (b - a)}{n}) = \int_{a}^{b} f (x) d x

a)

Stellen Sie

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n})

als bestimmtes Integral dar.

b)

Berechnen Sie:

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ... ... + \frac{1}{n + n})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Alx123 aktiv_icon

15:19 Uhr, 15.06.2011

Hallo,
was für Werte müssten

a, b

haben damit du von der gegebenen Summe auf a) kommst.

linaPi aktiv_icon

15:29 Uhr, 15.06.2011

Das hier ist meine Angabe! Das wars ich mein, mein Ansatz wäre dass ich zum Beispiel

a = 1

setzte und

b = 2

Das ich dann auf dieses

\frac{1}{n}

komme weil in der Formel steht ja

\frac{b - a}{n}

und dann hätte ich

\frac{2 - 1}{n},

\frac{1}{n}

Aber wie gesagt das ist jetzt nur eine Überlegung von mir, in der Angabe steht genau das was ich vorher geschrieben habe!

Alx123 aktiv_icon

15:35 Uhr, 15.06.2011

Kommst du auch so auf:

f (\frac{k}{n})

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15:39 Uhr, 15.06.2011

Nein, ich versteh das einfach nicht, ich weiß gar nicht wie ich weitermachen soll

Alx123 aktiv_icon

15:41 Uhr, 15.06.2011

Probier mal:

a = 0

b = 1

linaPi aktiv_icon

16:06 Uhr, 15.06.2011

okok das klappt und was ist dann mein

f (x)

?

wie rechne ich das? muss ich dann die summe ausrechnen?

Alx123 aktiv_icon

16:07 Uhr, 15.06.2011

Nein das wars schon, der Summenwert ist ja:

\int_{0}^{1} f (x) d x

edit:

Du hast ja schon oben den allgemeinen Grenzwert ( Summenwert ) gegeben.

linaPi aktiv_icon

10:50 Uhr, 17.06.2011

Also ist meine Lösung

\int_{0}^{1} f (x) d x

?
Oder ist sie:

\int_{0}^{1} f (\frac{k}{n}) d x

?

Oder ist sie:

\frac{1}{n} \int_{0}^{1} f (\frac{k}{n}) d x

Ich versteh dieses doofe Beispiel gar nicht, ich hab absolut keinen Durchblick, ok wie ich auf die Grenzen komm das geht ja, aber wie ich so ein komisches Ding mit

lim

usw in ein bestimmtes Integral verwandle, keinen Plan!!

Alx123 aktiv_icon

12:17 Uhr, 17.06.2011

Die Lösung von a) ist:

\int_{0}^{1} f (x) d x

Du brauchst hier nichts verwandeln, das ist wirklich einfach.
Du hast also folgende Gleichung gegeben:

lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (a + \frac{k \cdot (b - a)}{n}) = \int_{a}^{b} f (x) d x .

Diese Gleichung sagt einfach aus, das der Grenzwert der linken Summe das bestimmte Integral von

a

bis

b

ist. Diese Gleichung ist sehr allgemein, weder

a, b

noch die Funktion sind näher bestimmt, das ist nicht schlimm.

Jetzt sollst du bei a) den Grenzwert einer Summe berechnen. Die Vorangehensweise liegt jetzt einfach darin, zu überprüfen ob man die Summe bei a) auf die allgemeine gegebene Summe zurückführen kann, den deren Grenzwert ist ja schon bekannt. Man kann auch sagen, wir wollen Überprüfen ob die allgemeine Summe als Spezialfall (

a, b

nehmen konkrete Werte an,

f (x)

bleibt aber weiter allgemein ) die Summe bei a) beinhaltet.

Wenn man jetzt folgende Werte einsetzt:

a = 0

b = 1

die man einfach durch Probieren oder durch Hinsehen auswählt, erhält man:

lim_{n \to \infty} \frac{1 - 0}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (0 + \frac{k \cdot (1 - 0)}{n}) = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x .

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13:02 Uhr, 17.06.2011

okok, ich verstehs jetzt einigermaßen :-)
dankeschön ;-)

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