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Lineare Abbildungen, Kern, Bild

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: bijektiv, Bild, Kern, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Umkehrfunktion, Vektorraum

D2109 aktiv_icon

17:00 Uhr, 30.12.2014

Hallo liebe Helfer,

meine zu bearbeitende Aufgabe lautet:

a) Sei

f : V \to W

eine bijektive lineare Abbildung zwischen zwei

k

-Vektorräumen

V

und

W

. Zeigen Sie, dass auch die Umkehrfunktion von

f

linear ist.

b) Berechnen Sie Kern und Bild der linearen Abbildung

f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

mit

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2} + x_{3}, 2 x_{1} + x_{3})

.

Für a) hätte ich die Idee, erstmal anzunehmen, dass

f^{- 1}

nicht linear ist. Aber wie zeige ich das denn mit so allgemeinen Abbildungen?

Schon mal im Voraus vielen Dank für eure Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

17:08 Uhr, 30.12.2014

"hätte ich die Idee, erstmal anzunehmen, dass

f^{- 1}

nicht linear ist. "

Vermutlich geht es auch so, aber das ist definitiv nicht der kürzeste Weg.
Am einfachsten geht es direkt:

f^{- 1} (a f (u) + b f (v)) = f^{- 1} (f (a u + b v)) = a u + b v = a f^{- 1} (f (u)) + b f^{- 1} (f (v))

D2109 aktiv_icon

17:24 Uhr, 30.12.2014

Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort :-)

Es gibt ja zwei Kriterien zur Linearität, hiermit habe ich dann beide auf einmal gezeigt, oder? Also einmal

f (v + w) = f (v) + f (w)

und einmal

f (λ \cdot v) = λ \cdot f (v)

?

Und nun zu b):

Wir haben das Thema Kern, Bild, Rang in den Vorlesungen schon grob behandelt, aber leider noch nicht genau, wie man sowas berechnet usw...
Hoffe, ihr könnt mir da Tipps geben, damit ich von allein auf die Lösung komme.

Viele Grüße :-)

DrBoogie aktiv_icon

17:58 Uhr, 30.12.2014

"Es gibt ja zwei Kriterien zur Linearität, hiermit habe ich dann beide auf einmal gezeigt, oder?"

Genau.

"Wir haben das Thema Kern, Bild, Rang in den Vorlesungen schon grob behandelt, aber leider noch nicht genau, wie man sowas berechnet usw."

Was ist denn "grob"? Es ist keine große Kunst, Kern und Bild zu berechnen, dafür gibt's Standartverfahren. Habt Ihr Beispiele betrachtet oder nur allgemeine Theorie?

D2109 aktiv_icon

18:12 Uhr, 30.12.2014

Wir haben z.B. paar Dimensionsformeln aufgeschrieben und das wichtigste darin rot eingekästelt, wie z.B. bei einer linearen Abbildung

V \to W

α

injektiv

\overset{}{\Leftrightarrow}

dimBild(

α

) = dim

V

Bild(

α

) ist Untervektorraum von

W

. Deshalb: Bild(

α

) =

W \overset{}{\Leftrightarrow}

dimBild(

α

) = dim

W

oder noch

α : V \to W

hat die Form (bzgl. der Standardbasen)

\vec{x} \mapsto A \cdot \vec{x} = α (\vec{x})

, d.h.

A

= darstellende Matrix von

α

.

Leider kann ich hier mit alledem überhaupt nichts anfangen...

DrBoogie aktiv_icon

18:26 Uhr, 30.12.2014

Nun, wenn Ihr keine Verfahren dazu gelernt habt, musst Du wohl "zu Fuss" die Aufgaben erledigen.
Das geht in diesem Fall auch. Z.B. ist leicht zu sehen, dass Bild =

ℝ^{2}

, denn sowohl

(1, 0)

als auch

(0, 1)

liegen im Bild. Und für Kern muss man ein linereas Gleichungsystem aus 2 Gleichungen lösen, das geht auch einfach.

anonymous

19:50 Uhr, 30.12.2014

Hey,

φ

injektiv

\Leftrightarrow

(φ) =

dim

V

ist so nicht richtig. Es müsste schon "surjektiv" heißen. Und diese Äquivalenz gilt nur dann, wenn dim

V < \infty

gilt.

Aber diese Formeln brauchst Du für Bild und Kern garnicht. Vielleicht hilft es ja, sich zu verinnerlichen, was diese Begriffe bedeuten:

Sei

φ : V \to W

eine lineare Abbildung. Dann ist Bild (oder auch Im

φ

) die Menge aller Vektoren

w \in W

, die durch diese Abbildung dargestellt werden können. Du kannst Dir das so vorstellen, dass Du einfach jeden(!) Vektor

v \in V

nimmst und durch die Abbildungsvorschrift

φ

jagst. Du bekommst ja wieder eine Menge von Vektoren (diesmal eben aus

W

). Dies ist Dein Bild.
Der Kern der Abbildung sind jene Vektoren

v \in V

, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Das heißt es sind alle Vektoren, für die

φ (v) = 0

gilt. Ist auch wieder eine Menge.

Und es ist jetzt Deine Aufgabe herauszufinden, wie Du an diese Mengen kommst.

Grüße

D2109 aktiv_icon

22:08 Uhr, 30.12.2014

Hey hey sorry, hab nur Teile rausgeschrieben. Es lautet folgendermaßen in unseren Vorlesungsunterlagen:

Sei dim

V < \infty

α : V \to W

linear.
Dann gilt: dim

V

= dimKern(

α

) + dimBild(

α

).
Insbesondere: dimKern(

α

)

< \infty

, dimBild(

α

)

< \infty

W

kommt in der Formel nicht vor.
.
.
.

α

injektiv

\overset{}{\Leftrightarrow}

Kern(

α

) =

{0} \overset{}{\Leftrightarrow}

dimKern(

α

) =

0 \overset{}{\Leftrightarrow}

dimBild(

α

) = dim

V

Bild(

α

) ist Untervektorraum von

W

(Bereits davor irgendwann gezeigt!). Deshalb: Bild(

α

) =

W \overset{}{\Leftrightarrow}

(falls dim

V < \infty

) dimBild(

α

) = dim

W

Rot eingekästelt war entsprechend das, was ich oben bereits gekürzt geschrieben hab.

Und nun zu Allriks Kommentar: Erstmal danke, so begegnet man sich also wieder. :-)
Ich versuche mal die Abbildung "aufzustellen" mit darstellender Matrix etc...

Es lautet ja

\vec{x} \mapsto A \cdot \vec{x} = α (\vec{x})

, d.h.

A

= darstellende Matrix von

α

.
Also:

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array})

\cdot

(\begin{array}{rcl} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array})

=

(\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{3} \end{array})

Die darstellende Matrix hierbei wäre ja

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array})

, oder nicht?

WAS genau ist denn hier jetzt das Bild ? Und wegen Kern nehme ich an (da Nulvektor) homogenes LGS, also Zeilen gleich 0 setzen, oder?

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array})

\cdot

(\begin{array}{rcl} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array})

=

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

Ist es bis hierhin richtig, wenn ich so vorgehe?

Viele Grüße :-)

DrBoogie aktiv_icon

22:10 Uhr, 30.12.2014

Matrix ist richtig.

"WAS genau ist denn hier jetzt das Bild ?"

HIER ist kein Bild, Bild ist nicht in der Matrix versteckt. Aber die Spalten der Matrix erzeugen das Bild.

D2109 aktiv_icon

22:24 Uhr, 30.12.2014

In meinen Vorlesungsunterlagen steht, dass das Bild(

α

) die Menge aller

\vec{y}

ist, für die das inhomogene LGS lösbar ist.

Bild(

α

) =

{w_{0} \in W ∣ \exists v_{0} \in V

mit

α (v_{0}) = w_{0}}

{\vec{y} \in W ∣ \exists \vec{x} \in V

mit

A \cdot \vec{x} = \vec{y}}

Die Matrix hab ich ja oben stehen. Wie gebe ich das Bild denn jetzt schriftlich an, oder ist die Matrix hinter dem Istgleichzeichen eben für das Bild oder doch die ganze Gleichung mit darstellender Matrix und Vektor?

Und: Alles, was vor dem Istgleichzeichen steht, muss ich doch mit normaler Matrizenmultiplikation erstmal in eine Matrix bringen, um den Kern zu berechnen, oder?

DrBoogie aktiv_icon

22:28 Uhr, 30.12.2014

"Wie gebe ich das Bild denn jetzt schriftlich an"

Ich habe schon oben geschrieben, was in diesem Fall Bild ist, Du musst es nur beweisen.

"oder ist die Matrix hinter dem Istgleichzeichen eben für das Bild"

Für das Bild WAS?

"oder doch die ganze Gleichung mit darstellender Matrix und Vektor?"

Wie bitte? Gleichung, Matrix, Vektor - das soll alles Bild sein? :-O
Bild ist ein Vektorraum, keine Matrix, keine Gleichung und kein Vektor.

"Und: Alles, was vor dem Istgleichzeichen steht, muss ich doch mit normaler Matrizenmultiplikation erstmal in eine Matrix bringen, um den Kern zu berechnen, oder?"

Das verstehe ich überhaupt nicht.
Aber ich habe das Gefühl, dass Du zuerst mal über alle Begriffe nachlesen muss, denn Du bringst alles durcheinander, es ist ein Chaos bei Dir. :(

D2109 aktiv_icon

23:02 Uhr, 30.12.2014

Okay, tut mir leid, wenn das jetzt alles etwas verwirrend war...

Ich hab ja die Gleichung für das Bild:

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{3} \end{array})

Definiert ist das Bild hierdurch:

Das BILD von

α

ist Bild(

α

)

:= {w_{0} \in W ∣ \exists v_{0} \in V

mit

α (v_{0}) = w_{0}} = α (V)

Ok, das hab ich ja verstanden.

Aber wie berechne ich das Bild genau denn? Bzw, ich hab ja oben die Gleichung. Du meintest etwas von beweisen. Könntest du mir vielleicht etwas konkreter erklären, wie ich genau nun auf das Bild komme? Was muss ich da denn berechnen und vor Allem wie sieht eine Lösung denn aus, die nun das Bild beschreibt?? Das verstehe ich eben leider noch nicht so ganz... Denn das Bild ist ja eine Menge.

Und für den Kern komme ich auf dieses LGS:

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0

2 x_{1} + x_{3} = 0

Aus (II) folgt:

2 x_{1} + x_{3} = 0

x_{1} = - \frac{1}{2} x_{3}

Eingesetzt in (I):

- \frac{1}{2} x_{3} + x_{2} + x_{3} = 0

x_{2} = - \frac{1}{2} x_{3}

Jetzt komme ich leider auch nicht mehr weiter...

DrBoogie aktiv_icon

23:32 Uhr, 30.12.2014

"Jetzt komme ich leider auch nicht mehr weiter."

Dabei bist Du eigentlich am Ziel.
Du hast gezeigt, dass jede Lösung die Form

(- 0.5 x_{3}, - 0.5 x_{3}, x_{3})

hat, daraus folgt sofort,
dass Kern von dem Vektor

(- 0.5, - 0.5, 1)

erzeugt wird, das kann man so aufschreiben:
Kern

= < (- 0.5, - 0.5, 1) >

, aber auch die Schreibweise Kern=

{(- 0.5 x_{3}, - 0.5 x_{3}, x_{3}) ∣

x_{3} \in ℝ}

ist möglich. Oder als dritte Variante: Kern hat Basis

(- 0.5, - 0.5, 1)

.

Das Bild ist durch Spalten der Matrix erzeugt, wie gesagt. Also geht es darum, zu verstehen, dass sie ganz

ℝ^{2}

erzeugen. Das sieht man z.B. so:

(1, 2) - (1, 1) = (0, 1)

, also ein beliebiger Vektor

(a, b)

ist darstellbar als

(a, b) = a (1, 0) + b (0, 1) = a (1, 0) + b (1, 2) - b (1, 1)

D2109 aktiv_icon

23:47 Uhr, 30.12.2014

Gut, jetzt bin ich erleichtert, dass meine Gedankengänge beim Kern zum Schluss doch richtig waren. Danke ! :-)

Zum Bild: Man soll also durch die Spaltenvektoren auf die Standardbasen schließen? Damit man eben beliebige Vektoren aus dem Vektorraum bilden kann? Ist das, was du zum Schluss gezeigt hast, also sozusagen ein Erzeugendensystem ?

DrBoogie aktiv_icon

10:08 Uhr, 31.12.2014

"Man soll also durch die Spaltenvektoren auf die Standardbasen schließen?"

Man kann, es geht auch anders. Aber wenn Du die Standardbasis erzeugen kannst, kannst Du alles erzeugen.

anonymous

14:09 Uhr, 31.12.2014

Hey,

Du hast ja folgende Abbildung:

(\begin{array}{rcl} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) \mapsto (\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{3} \end{array})

So, nun kannst Du aber auch schreiben:

(\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{3} \end{array}) = x_{1} (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array}) + x_{2} (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \end{array}) + x_{3} (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \end{array})

Das bedeutet, Dein Bild kann man auch höchstens 3 Vektoren konstruieren. Jetzt sind diese Vektoren aber linear Abhängig (der Erste plus der Zweite ergeben das doppelte vom Dritten). Wir lassen mal den Dritten weg und erhalten die Vektoren

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array})

und

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \end{array})

Diese sind nun linear unabhängig. Jetzt packst Du die in ein Erzeugendensystem:

〈 (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \end{array}) 〉

Und das ist dann auch Dein Bild. Ist der

ℝ^{2}

.

Grüße

D2109 aktiv_icon

11:20 Uhr, 17.01.2015

Ich bedanke mich vielmals für Eure Hilfe !!! :-)

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