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Lineare Funktionen und Dreiecke

Schüler Gymnasium,

Tags: Dreieck, Mittelsenkrechte, Schwerpunkt, Umkreis

DevilCrew99 aktiv_icon

11:19 Uhr, 15.02.2014

Hallo!
Momentan behandeln wir lineare Funktionen in der Schule. Als vorbereitung auf unsere nächste Klassenarbeit sollen wir folgende zwei Aufgaben lösen.

1.
Gegeben sind die Punkte

A (2,0); B (5,1)

und

C (4, - 3)

a)

Die drei Punkte ABC dienen als Eckpunkte eines Dreiecks. Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks, indem du als Grundeseite die Strecke zwischen zwei der Punkte nimmst und als Höhe den senkrechten Abstand des 3. Punktes zu dieser Strecke verwendest.

Gedanken und Rechnungen bis jetzt:
Gleichung für Strecke AB:

f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}

Steigung für Höhe zu AB:

- 3

Daraus folgt nach Einsetzen des Punktes

C : g (x) = - 3 x + 9

Sind diese Ergebnisse richtig und wenn ja wie berechne ich jetzt daraus den Flächeninhalt?

2.
Durch die Punkte

A (9,2); B (12,8)

und

C (1,6)

ist ein Dreieck gegeben.

a)

Weise rechnerisch nach, dass sich die Seitenhalbierenden des Dreieckes ABC in einem Punkt

S

schneiden und gib die Koordinaten des Schnittpunktes

S

an.
b)Bestimme die Gleichungen der Geradenseiten.

c)

Gib die Gleichung des Umkreises an.

d)

Bestimme die Gleichung der Höhengeraden hc

e)

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

Gedanken und Rechnungen bis jetzt:

b)

kann man doch ganz einfach mit f(x)=mx+b berechnen. (Steigung aus den beiden Punkten und dann einen Punkt einsetzen und nach

b

umformen)

Aber wie soll ich nun

a); c); d)

und

e)

lösen? Hab da noch keine Idee!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Kreis und Mittelsenkrechte
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

11:32 Uhr, 15.02.2014

Es hängt natürlich davon ab, welche Methoden dir zur Verfügung stehen.
zu

1)

Für die "traditionelle" Flächenberechnung eines Dreiecks benötigt man die Länge einer Seite und die Länge der dazugehörigen Höhe ( andere Methoden sind natürlich viel effizienter ).
Länge einer Seite: Da die Koordinaten der Eckpunkte gegeben sind, kann man auch die Länge der entsprechenden Strecke bestimmen.
Die Länge der dazugehörigen Höhe: Beginnt im gegenüberliegenden Eckpunkt und endet im Schnittpunkt der Höhe ( genauer der "Trägergeraden" der Höhe ). Bei gegebenen Eckpunkten ist also nur noch der besagte Schnittpunkt zu finden. Gleicher der Normalen bestimmen und mit "Trägergeraden" der Seite schneiden. Dann Länge der Strecke bestimmen.

... ... . .

.
( Aber - wie gesagt - bei "höheren" Methoden geht's natürlich schneller )

DevilCrew99 aktiv_icon

11:36 Uhr, 15.02.2014

Mir stehen momentan ca. die Mittel der

10

. Klasse zur Verfügung. Ich kenn Strahlensätze und sonstiges.
Aber da ich schon Montag die Arbeit schreibe wäre es gut, die Lösungen möglichst bald zu haben und ich selber hab echt keinen Plan.

: (

Respon

11:39 Uhr, 15.02.2014

Bleiben wir bei

1)

Die beiden Gleichungen sind richtig.
Schneide nun

y = \frac{1}{3} \cdot x - \frac{2}{3}

mit

y = - 3 \cdot x + 9 (

das wäre dann der Höhenfußpunkt )

DevilCrew99 aktiv_icon

11:46 Uhr, 15.02.2014

Als Schnittpunkt bekomm ich dann

P (2,9; 0,3)

heraus.

Respon

11:49 Uhr, 15.02.2014

Das ist korrekt.
Bestimme nun die Länge der Seite AB

A (2 | 0), B (5 | 1)

\Rightarrow

AB=

... .

.
( Poste den exakten Wert , also AB

= \sqrt{...})

Das Gleiche mache mit der dazugehörigen Höhe

C (4 | - 3), H_{C} (2,9 | 0,3)

DevilCrew99 aktiv_icon

11:55 Uhr, 15.02.2014

Das geht doch mit Pythagoras,oder?
Daraus folgt für AB:

\sqrt{10}

und für C,Hc:

\frac{11 \sqrt{10}}{10}

Respon

11:56 Uhr, 15.02.2014

Auch richtig.
Und jetzt die "normale" Flächenformel

A = \frac{a \cdot h_{a}}{2}

A = . .

DevilCrew99 aktiv_icon

11:59 Uhr, 15.02.2014

Bei mir ergibt sich dann ein Flächeninhalt von

5,5

. Richtig?

Respon

12:01 Uhr, 15.02.2014

Stimmt ! Und zwar genau

5.5

Hästtest du

\sqrt{10}

als Dezimalzahl ausgerechnet, wäre das Ergebnis nicht falsch, aber etwas ungenauer geworden.
Also

1)

ist klar ! Wie geht's weiter?

DevilCrew99 aktiv_icon

12:04 Uhr, 15.02.2014

Danke für die Lösng für

1)

Bei

2)

weiß ich aber nicht wie ich vorgehen muss!

Respon

12:10 Uhr, 15.02.2014

2)

ist zwar nicht schwer, aber viel Herumgerechne.
Wir wissen natürlich, dass die Seitenhalbiernden einander in einem Punkt schneiden

(=

Mittelpunkt des umgeschriebenen Kreises ).
Aber das soll eben hier gezeigt werden.
Wie benötigen die drei Gleichungen der drei Seitenhalbierenden.
Eine Seitenhalbierende geht durch den Mittelpunkt einer Seite

\Rightarrow

Halbierungspunkte berechnen.
Die Seitenhalbierende steht NORMAL auf die Seite

\Rightarrow

diesen jeweiligen Anstieg berechnen.
Diese Elemente ( für jeweils der drei Seiten ) berechnen und daraus die Geradengleichung bilden.

Beweis des gemeinsamen Schnittpunktes:
Schneiden wir ZWEI Seitenhalbierende, so erhalten wir den Schnittpunkt. Dieser Punkt muss auch auf der dritten Seitenhalbierenden liegen.

Verdau das und fang an !

DevilCrew99 aktiv_icon

12:19 Uhr, 15.02.2014

Was ist mit NORMAL auf die Seite stehen gemeint. Ein rechter Winkel?

Respon

12:30 Uhr, 15.02.2014

Ja.