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Löse die Ungleichung nach x auf (cos x > -0.5)

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Monotonieverhalten, Trigonometrie, Ungleichung

Huzta aktiv_icon

14:15 Uhr, 03.04.2016

Hallo,

wie bereits im Titel steht, soll man die Ungleichung

1 .) cos (x) > - 0.5

bzw.

2 .) cos (x) < - 0.5

nach

x

auflösen.

Mit einem Funktionsplotter und einem Online-Ungleichungslöser habe ich herausgefunden, dass in etwa Folgendes für die beiden Ungleichungen herauskommt:

1 .) - 2.1 < x < 2.1

2 .) 2.1 < x < 4.2

Ich soll diese Ungleichung rein rechnerisch lösen (ansonsten könnte man ja einfach 2 Grafen zeichnen und ablesen).

Ich frag mich jetzt, wieso bsp. bei der 1. Ungleichung

cos (x) > - 0.5

das

x

kleiner sein muss als

2.1

. Denn wenn ich die Operation

{cos}^{- 1}

durchführe, bekomme ich

x > 2.1

heraus. Kann es sein, dass das Ungleichheitszeichen sich wegen

{cos}^{- 1}

umdrehen muss? Und wenn ja, wieso?

Desweiteren bekommt man ja lediglich nur einen Wert heraus für

x

und keinen Bereich zwischen 2 Zahlen. Hängt das evtl. damit zusammen, dass der Cosinus-Graph in einer Periode 2 Mal den y-Wert

- 0.5

erreicht und man deshalb (der Symmetrie wegen) all die Rechnungen auch mit

cos (- x)

durchführen muss, um den 2. Punkt des Grafen in einer Periode zu berücksichtigen, der den Wert

y = - 0.5

hat?

Ich wäre sehr froh und dankbar, wenn jemand auf beide Fragen antwortet und mir Lösungen erläutert.

Vielen Dank im Voraus!

Mit freundlichen Grüßen,

Benedikt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

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14:25 Uhr, 03.04.2016

Schau dir den

cos

auf dem Einheitskreis an: Der

cos

ist

- 0,5

bei 120° und 240°, also bei

\frac{2}{3} \cdot π

und

\frac{4}{3} \cdot π

.
Damit kannst du den gesuchten Bereich ermitteln. .

Huzta aktiv_icon

14:31 Uhr, 03.04.2016

Danke für Deine Antwort :-D)

leider soll ich sie rein rechnerisch lösen.
Meine Hauptfrage ist Folgende:
Dreht sich das Ungleichzeichen um, wenn ich die Operation

{cos}^{- 1}

durchführe? (Andernfalls komme ich nämlich nicht auf die oben angegebenen Intervalle.)
Wenn ja, wieso.

Vielen Dank wieder im Voraus,

Gruß

Einsteinium aktiv_icon

15:20 Uhr, 03.04.2016

Hallo.
Das Ungleichzeichen ändert sich nur bei der Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl.
Sonst bleibt es gleich.

Bsp:

3 > - 4

Wenn ich diese mit einer negativen Zahl multiplizieren würde,

z . B

. mit

- 1

dann würde da stehen

- 3 > 4

und das wäre nicht korrekt.
Von daher muss an dieser Stelle das Ungleichzeichen verändert werden zu:

- 3 < 4

Viele Grüße

Einsteinium

Werbung wurde wegen Verstoßes gegen die Forenregeln entfernt!
Unzulässige Werbung entfernt!

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15:20 Uhr, 03.04.2016

x

muss kleiner als

\frac{2}{3} π

oder größer als

\frac{5}{3} π

sein.

abakus

15:34 Uhr, 03.04.2016

"Das Ungleichzeichen ändert sich nur bei der Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl."

Diese absolute Aussage ist nicht korrekt, das Ungleichheitszeichen ändert sich auch unter anderen Bedingungen, die nichts mit Multiplikation/Division zu tun haben.

Für streng monoton wachsende Funktionen f gilt, dass aus a<b auch f(a)<f(b) folgt.
Für streng monoton fallende Funktionen f gilt jedoch, dass aus a<b f(a)>f(b) folgt.

Wenn eine Umkehrfunktion monoton fallend ist, dann kann die Anwendung dieser Umkehrfunktion das Vorzeichen einer Ungleichung also auch umkehren.

@Einsteinium:
Werbung ist in solchen Foren meist nicht erwünscht.
In deinem Fall ist sie peinlich.

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15:35 Uhr, 03.04.2016

Danke erstmal an alle Antwortgeber für Eure Hilfe,

ich formulier mein Problem mal ganz simpel:

Ich habe die Ungleichung

cos (x) > - 0.5

Ich führe

{cos}^{- 1}

aus. Nun steht da:

x > \frac{2}{3} \cdot π

Laut Graf ist dies aber falsch, denn der Cosinus-Graf ist über dem Wert

- 0.5

bei einem x-Wert von

x < \frac{2}{3} \cdot π

.

Zudem weiß ich nicht, wie ich allein durch das Rechnen auf die Intervalle in meiner ursprünglichen Fragestellung kommen soll:

1 .)

−

2.1 < x < 2.1

2 .) 2.1 < x < 4.2

Grüße

abakus

15:43 Uhr, 03.04.2016

"Zudem weiß ich nicht, wie ich allein durch das Rechnen auf die Intervalle in meiner ursprünglichen Fragestellung kommen soll:"

Zunächst mal sollt du nicht auf Werte wie 2,1 kommen, weil

\frac{2}{3} π

nicht 2,1 ist.
Was die Richtung des Relationszeichens betrifft: Lies meine vorherigen Antwort zur Monotonie von (Umkehr-)Funktionen.
Worüber noch gar nicht gesprochen wurde: Die Kosinusfunktion ist periodisch und hat unendlich viele Lösungsintervalle für deine Ungleichung.

Huzta aktiv_icon

15:54 Uhr, 03.04.2016

Vielen Dank für Deine Hilfe :-D)

Aber bis jetzt hat noch niemand eine Antwort auf meine Frage gegeben.

Ich habe die Ungleichung

cos (x) >

−

0.5

Ich führe

{cos}^{- 1}

aus. Nun steht da:

x > \frac{2}{3}

⋅

π

Laut Graf ist dies aber falsch, denn der Cosinus-Graf ist über dem Wert −

0.5

bei einem x-Wert von

x < \frac{2}{3} π

.

Eine kurze Erklärung, wie ich Ungleichungen mit trigonometrischen Funktionen rein rechnerisch löse, wäre sehr nett von Dir.

Gruß

abakus

15:59 Uhr, 03.04.2016

"Nun steht da: x>..."

Die Kosinusfunktion ist im Intervall von 0 bis pi monoton fallend!

Matheboss aktiv_icon

16:02 Uhr, 03.04.2016

@ Danke Gast62

Die peinliche Werbung von "Einsteinium" wurde von mir entfernt!

Einsteinium aktiv_icon

16:51 Uhr, 03.04.2016

Gast62 gleich ausfallend zu werden ist wohl nicht angebracht.

Seine Frage wurde damit beantwortet. Das Ungleichzeichen ändert sich in vielerlei Fällen, wie Betrag auflösen und co. Aber das ist für seine Frage und Anwendung nicht notwendig die komplette Eingrenzung zu nennen.

Für seinen Fall reicht es aus zu wissen dass wenn er mit negativen zahlen multipliziert er das Ungleichzeichen ändern muss.
Alles andere würde nur zu möglicher Verwirrung führen.

abakus

17:01 Uhr, 03.04.2016

Er multipliziert aber nicht mit negativen Zahlen. Er hat eine monoton fallende Funktion vorliegen, weswegen aus f(a)<f(b) folgt, dass a>b gilt.

Matheboss aktiv_icon

17:04 Uhr, 03.04.2016

@ Gast62

Du musst ihn entschuldigen. Im anderen Thread hat er gerade angegeben, dass er nicht richtig gelesen hätte. Vielleicht liegt es daran.

Einsteinium aktiv_icon

17:09 Uhr, 03.04.2016

Das war seine Frage:
"Dreht sich das Ungleichzeichen um, wenn ich die Operation cos−1 durchführe? (Andernfalls komme ich nämlich nicht auf die oben angegebenen Intervalle.)
Wenn ja, wieso."

Natürlich dreht es sich da nicht. In seinem Fall müsste er dafür negativ multiplizieren.
Bin lediglich so simpel wie möglich auf den Vorzeichenwechsel eingegangen.

Matheboss aktiv_icon

17:15 Uhr, 03.04.2016

Siehe Gast62 um

17 : 01 h

und

15 : 34 h

.....fallende Funktion

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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