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Lösung für diophantische Gleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Formel, Gleichung., modula

 
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lweberru

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16:50 Uhr, 08.11.2019

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Folgende Aufgabe habe ich:
Ich will beliebig viele Menschen auf 4er und 3er Tische verteilen. Dabei sollen möglichst viele an den 4er Tischen sitzen und nur so wenig wie möglich an den 3er Tischen.
Gesucht ist nun falls vorhanden eine Formel um folgende Gleichung zu lösen

4⋅a+3⋅b=n

dabei ist n die Anzahl der Menschen. a die Anzahl der 4er Tische und b die Anzahl der 3er Tische

Durch ausprobieren bin ich auf folgende Lösung für b gekommen:

b=4-(nmod4)

a ergibt sich dann...

Warum funktioniert diese Formel und wie kommt man darauf, bzw. gibt es einen generischen Ansatz für andere Tischgrößen (wie 5er und 2er Tische, wofür ich keine Lösung gefunden habe)

Mein Gefühl geht irgendwie in Richtung erweiterter Euklidischer Algorithmus...

Bin für jede Idee dankbar.

Gruß
Lukas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Online-Nachhilfe in Mathematik
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anonymous

anonymous

17:37 Uhr, 08.11.2019

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Hallo
"Durch (A)usprobieren bin ich auf folgende Lösung gekommen:"
Hast du auch die Beispiele
n=8
n=12
n=4⋅k
durchdacht?

Eine kleine Korrektur führt zu:
b=(4-(nmod4))mod4

Wenn du dir eine kleine Liste machst, dann wird relativ einfach verständlich:
Wenn du eine Lösung für irgend eine Anzahl m an Personen gefunden hast, und du suchst nun die Lösung für eine Person mehr (m+1), dann wirst du doch grundsätzlich
> einen 3-er Tisch weniger besetzen,
> und dafür einen 4-er Tisch mehr besetzen,
bis eben wieder ein Vielfaches von 4 voll ist - also alles mit 4-er Tischen besetzt werden kann.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

18:27 Uhr, 08.11.2019

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Hallo,

bzw. als Erweiterung, da deine "primäre" Personenanzahl evtl. ja gerade nicht an auch nur einen einzigen 3er-Tisch verteilt werden muss:

Gilt 4∣n, so benötigst du offenbar a:=n4 4er-Tische und keine Dreiertische.

Gilt n≡1 mod 4, so wirst du n-94 4er-Tische und 3 3er-Tische benötigen.

Gilt n≡2 mod 4, so braucht man n-64 4er-Tische und 2 3er-Tische.

Schließlich werden für n≡3 mod 4 gerade n-34 4er-Tische und 1 3er-Tisch gebraucht.

Überlege, wie man von dieser Denkweise ausgehend auf die entsprechende Formel kommt!

Mfg Michael


PS: "Rand"fälle von n müsstest du wohl getrennt betrachten. Dabei wird wohl auch deutlich werden, dass deine Formel Grenzen hat.
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HAL9000

HAL9000

19:50 Uhr, 08.11.2019

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Die Ausgangsgleichung modulo 4 genommen bekommt man

3b≡-b≡n mod 4,

umgeschrieben b≡-n mod 4, d.h. es existiert eine ganze Zahl k mit b=4k-n, eingesetzt ergibt sich zugehörig a=n-3k.


Oder aber Ausgangsgleichung modulo 3, damit bekommt man direkt a≡n mod 3, damit existiert eine ganze Zahl k′ mit a=n+3k′, eingesetzt ergibt sich zugehörig b=-n-4k′, also de facto dieselbe Lösung wie oben (mit k=-k′).

Welche k bzw. k′ man nun nehmen kann, damit etwaige Nichtnegativitätsbedingungen für a,b erfüllt sind, wäre dann noch zu eruieren.
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