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Lokale Extremstellen?

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Extremwert, Funktionentheorie, Mehrdimensionale Extremwerte

 
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maggy96

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13:00 Uhr, 09.05.2019

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Hallo zusammen!

Ich hoffe ihr könnt mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen?

Ich soll bei der folgenden Aufgabe die lokalen Extremwerte ermitteln:
f(x,y)= x^4-4xy+y^4

Ich habe bereits alle Ableitungen gemacht und komme jetzt beim Gleichungssystem nicht weiter, welches folgendermaßen aussieht:

4x3-4y=0
-4x+4y3=0

Wie wird dieses gelöst?

Wie geht es nach dem Lösen dieses Gleichungssystems weiter?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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13:05 Uhr, 09.05.2019

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-4x=-4y3
x=y3

4(y3)3-4y=0
4y9-4y=0
4y(y8-1)=0

y1=0

y2,3=±1

-x1=0
x2,3=±1
maggy96

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13:06 Uhr, 09.05.2019

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Vielen Dank für deine rasche Antwort!

Ist somit 0 und 1 ein lokaler Extremwert oder?
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13:17 Uhr, 09.05.2019

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0,1 und -1.
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Respon

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13:22 Uhr, 09.05.2019

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Beachte bitte, dass deine Rechnung vorerst nur "Kandidaten" geliefert hat
(1,1)
(0,0)
(-1,-1)
An welcher Stelle nun ein Maximum, ein Minimum oder ein Sattelpunkt des Graphen der Funktion existiert, musst du noch bestimmen. (z.B. Hessematrix )
maggy96

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13:23 Uhr, 09.05.2019

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Vielleicht eine blöde Frage, aber handelt es sich jetzt um ein Minimum, Maximum??

Sonst konnte ich es immer in eine Hesse-Matrix umwandeln und dann die Eigenwerte davon bestimmen, dass geht aber hier nicht oder?

Danke schon mal!
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13:26 Uhr, 09.05.2019

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Zur Kontrolle
(-1,-1,-2) ist ein Minimum
(1,1,-2)  ist ein Minimum
(0,0,0)  ist ein Sattelpunkt
Es gibt kein lokales Maximum.
Und warum sollte "Hesse" nicht gehen ?
maggy96

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13:37 Uhr, 09.05.2019

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Vielleicht habe ich einfach die Hesse Matrix - Rechenart noch nicht ganz verstanden.

Ich versteh nicht ganz wie du auf die dreistellige Angabe des Sattelpunktes usw. kommst.

Wie setzt du den Punkt (1,1)z.B. in die Hesse-Matrix ein?
Antwort
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13:40 Uhr, 09.05.2019

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Das ist natürlich ein wenig "Therorie", schau dir das in deinen Unterlagen nochmals an.
Sonst bist du ja hier "in guten Händen".
Muss offline gehen.
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Bummerang

Bummerang

14:25 Uhr, 09.05.2019

Antworten
Hallo,

"Ich versteh nicht ganz wie du auf die dreistellige Angabe des Sattelpunktes usw. kommst."

f:

Argument: x

Punkt auf dem Graphen: (x,f(x))

Nun bei Dir analog:

f:×

Argument: (x,y)

Punkt auf dem Graphen: (x,y,f(x,y))

Also besitzt der Sattelpunt 3 Koordinaten!
maggy96

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14:44 Uhr, 09.05.2019

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Vielen lieben Dank :-)

Ich bin mir nicht sicher, ob ich hier nochmals eine Frage zu einer anderen Aufgabe stellen darf, aber meine Frage würde lauten:

Wie kann ich ein solches Gleichungssystem lösen?
-2x(x2+y2-1)e-x2-y2
-2y(y2+x2-1)e-y2-x2

Gerne auch Lösungsvorschläge...

Danke!
Antwort
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15:02 Uhr, 09.05.2019

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Das ist kein Gleichungssystem, den es gibt kein " = ".
Vermutlich meinst du irgendetwas mit " =0 ".

maggy96

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15:05 Uhr, 09.05.2019

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Ja habe lediglich jeweils =0 am Ende vergessen ...
Antwort
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Respon

15:07 Uhr, 09.05.2019

Antworten
Die Originalaufgabe wäre sicherlich hilfreich !
maggy96

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15:10 Uhr, 09.05.2019

Antworten
Es geht wieder um die Bestimmung der lokalen Extremwerte der folgenden Aufgabe:
f(x,y)=(x2+y2)e-(x2+y2)

Danke!
Antwort
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15:15 Uhr, 09.05.2019

Antworten
"Satz vom Nullprodukt"
maggy96

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15:34 Uhr, 09.05.2019

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Okay aber wie sieht das für zwei Variablen aus. Ich kenne das nur für eine Variable.
Antwort
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15:40 Uhr, 09.05.2019

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-2x(x2+y2-1)e-x2-y2=0x=0  (x2+y2-1)=0
Was ergibt sich, wenn ich x=0 in die zweite Gleichung einsetze ?
Was ergibt sich wenn ich x2+y2-1=0 auf die zweite Gleichung anwende ?
maggy96

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15:43 Uhr, 09.05.2019

Antworten
Aber die eulerische Funktion kann ja nie 0 sein bzw. diese ist nie 0.

Muss man die dann einfach ignorieren?
Antwort
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Respon

15:47 Uhr, 09.05.2019

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Das habe ich vorausgesetzt.
maggy96

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15:50 Uhr, 09.05.2019

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Liege ich mit diesen möglichen Kandidaten für Extremstellen richtig?

P(0,0)
P(1,1)
P(-1,-1)

Sollte für die Hesse-Matrix die zweite Ableitung nicht nur noch aus einer konstanten Zahl bestehen? Oder setze ich dann einfach den Punkt (0,0) auch in die zweite Ableitung ein?
Antwort
Respon

Respon

15:58 Uhr, 09.05.2019

Antworten
(0,0) ist korrekt.
Für die anderen Werte verschwinden die ersten Ableitungen aber nicht.
maggy96

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16:02 Uhr, 09.05.2019

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Ach so müssten die anderen beiden Punkte dann folgendermaßen lauten:
P(1,0)
P(-1,0)

wobei auch P(0,1) und P(0,-1) in Frage kommen würden nicht?

Aber nochmals zurück zur Hesse-Matrix wie sieht diese für den Punkt (0,0) aus?

Antwort
Respon

Respon

16:07 Uhr, 09.05.2019

Antworten
Du setzt (0,0) ein.
Versuch's !

maggy96

maggy96 aktiv_icon

16:11 Uhr, 09.05.2019

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Ehrlich gesagt ich versteh es nicht!

Und leider komme ich keinen Schritt weiter...

Wenn ich den Punkt (0,0) in die Hesse-Matrix einsetze, dann kommt doch die Nullmatrix heraus, welche semidefinit ist, oder?

Aber was ist jetzt mit den anderen beiden Punkten, die auch als Extremwerte in Frage kommen? Stimmen die?
Antwort
ledum

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19:21 Uhr, 09.05.2019

Antworten
Hallo
die Hesse Matrix für (0,0) ist nicht 0. in (0,0) ist ein Min,
auf dem Kreis x2+y2=1 auf dem auch deine 2 Punkte liegen ist die funktion überall maximal. es ist eine art Wall-siehe mein Bildchen.
Gruß ledum

User-Surface (Cartesian).
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