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Mantelfläche eines Pyramiden-Kegelstumpf

Universität / Fachhochschule

Tags: Formel, kegelstumpf, Pyramidenstumpf

 
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diddlsurfer

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14:31 Uhr, 10.08.2018

Antworten
Hallo,
ich suche die Formel der Mantelfläche für eine Art Pyramidenstumpf/Kegelstumpf,
wobei die Grundfläche aus einem Kreis besteht und die Deckfläche aus einem Viereck.
Ich habe schon Google strapaziert aber nichts gefunden.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Im vorraus vielen Dank

Kegel-Pyramidenstumpf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Antwort
abakus

abakus

15:45 Uhr, 10.08.2018

Antworten
Konkret kann man das erst berechnen wenn man weiß, auf welche Art (wie langsam oder wie schnell) das obere Viereck mit abnehmender Körperhöhe in einen Kreis übergeht.
Du benötigst also z.B. eine Formel, die in jeder Zwischenhöhe die Form der Begrenzungslinie beschreibt. Das ganze läuft wohl auf ein Doppelintegral hinaus.
Antwort
Roman-22

Roman-22

16:01 Uhr, 10.08.2018

Antworten
Möglicherweise kann man davon ausgehen, dass es sich um eine Regelfläche handeln soll.
Oder eine Verbindungstorse wie hier:

www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fslideplayer.org%2F5056234%2F16%2Fimages%2F22%2FBeispiel%2BVerbindungstorse.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fslideplayer.org%2Fslide%2F5056234%2F&docid=NpULJiYflLiOFM&tbnid=1mWPiMa8BZ6bzM%3A&vet=12ahUKEwjHmqe70-LcAhWS3KQKHQ7PDgA4ZBAzKBgwGHoECAEQGQ..i&w=960&h=720&client=firefox-b&bih=609&biw=1280&q=Regelfl%C3%A4che%20Kreis%20Quadrat&ved=2ahUKEwjHmqe70-LcAhWS3KQKHQ7PDgA4ZBAzKBgwGHoECAEQGQ&iact=mrc&uact=8
diddlsurfer

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16:07 Uhr, 10.08.2018

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Hallo,
das hört sich kompliziert an, in der Praxis laufen die Seiten des Vierecks auf einen Punkt auf dem Kreis. Siehe Skizze
Antwort
pivot

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16:24 Uhr, 10.08.2018

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Die allererste Frage ist doch was gegeben ist.
Antwort
Roman-22

Roman-22

17:22 Uhr, 10.08.2018

Antworten
> in der Praxis laufen die Seiten des Vierecks auf einen Punkt auf dem Kreis.
Was genau du damit meinst ist unklar. Und welche Praxis?

> Siehe Skizze
Keine Skizze zu sehen, die zeigen würde, auf welche Art genau Quadrat und Kreis mit einer Fläche verbunden wurden. Möglichkeiten dafür gibts theoretisch unzählige

Die Frage ist auch, wofür du das Ganze benötigst. Wenn du den Körper einfach in einem CAD Programm modellierst und du nicht genau weißt, wie das Programm den Körper erzeugt, dann reicht dir ja auch vielleicht die numerische Genauigkeit, mit der dir dein Programm das Volumen des Körpers angibt.

Wenn wir eine Verbindungstorse, wie oben verlinkt, annehmen, dann besteht diese ja aus ebenen Flächen und schiefen Kreiskegeln.
Sind r der Radius des Basiskreises, a die Seitenlänge des Deckquadrats und h die Höhe des Körpers, dann ergibt sich für das Volumen

V=h3(a2+2ar+πr2)

Sollte a=2r gelten (dein Bild sieht danach aus), so vereinfacht sich die Formel zu V=π+83r2h3,714r2h
Liegt also perfekt zwischen Kreiszylinder (πr2h) und quadratischem Prisma (4r2h).

Entsteht die Verbindung zwischen Kreis und Quadrat aber auf eine andere Weise, so ändert sich natürlich das Volumen mehr oder weniger geringfügig.
diddlsurfer

diddlsurfer aktiv_icon

07:41 Uhr, 13.08.2018

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Hallo,
da ich von der Arbeit die Frage gestellt habe, kann ich am WE schlecht antworten.
Die Skizze ist ja oben zu sehen.
hallo Roman-22 die Verbindungstorse ist das Gebilde welches ich meinte, Danke
Es handelt sich um ein Verbindungstück zwischen einem runden Rohr und einem viereckigen Rohr.
Ich wollte die Formel in eine Exceltabelle eingeben, damit ich NICHT jedes mal ein Model erstellen muß.
Die Formel für das Volumen ist einleuchtend,
aber wie bekommt man die MANTELFLÄCHE heraus?
Diese wollte ich berechnen.

Antwort
Roman-22

Roman-22

12:06 Uhr, 13.08.2018

Antworten
> Die Skizze ist ja oben zu sehen.
Ja, aber du hattest geschrieben
" in der Praxis laufen die Seiten des Vierecks auf einen Punkt auf dem Kreis. Siehe Skizze"
und das war eine sehr unklare, eigentlich nichtssagende Formulierung und deine Skizze im ersten Post hat da nichts klarere gemacht, weil sie ja nicht zeigt, WIE die Verbindung von Kreis und Quadrat zustande kommt. Die in deiner Zeichnung sichtbaren Erzeugenden von den Quadratecken weg verwirren mehr als sie helfen, da sie suggerieren, dass es sich dazwischen um eine einheitlich gekrümmte Fläche handelt (wie bei Nurbs oder Bezier) und nicht um eine abwickelbare Torse.
Es sollte eher wie nachstehend abgebildet aussehen, auch wenn hier ein Rechteck anstelle eines Quadrats zu sehen ist:
B2

> Diese wollte ich berechnen.
Ja, das hatte ich offenbar überlesen und war aus irgend einem Grund der Meinung, das Volumen wäre gesucht.
Aber auch für die Mantelfläche lässt sich leicht eine Formel angeben, besteht der Mantel doch einfach nur aus vier Dreiecken und vier schiefen Kreiskegelteilen. Ich komme da (ohne Gewähr) auf

M=2a(r-a2)2+h2+4r0π4(r-a22cost)2+h2dt

Eine geschlossene Lösung des Integrals in Form von elementaren Funktion wird es wohl nicht geben, sodass sich nur für konkrete Werte von r,a und h eine (beliebig genaue) Näherungslösung angeben lassen wird.
Gleiches gilt ja bekanntlich auch für die Grenzkurven, die sich bei Abwicklung der Torse ergeben.

Wie schon vorhin beschrieben gibt es aber unzählige Möglichkeiten, Kreis und Quadrat zu verbinden. CAD Programme enthalten idR auch eine entsprechende Funktion. Meist werden die Randkurven dabei parametrisiert (und ev. mit B-Splines approximiert) und eine Regelfläche erzeugt, indem Punkte auf beiden Rändern mit gleichem Parameterwert verbunden werden. Je nach Parametrisierung entstehen dabei unterschiedliche Regelflächen, welche sich vermutlich auch hinsichtlich ihrer Mantelfläche etwas unterscheiden werden.
Die oben zugrunde gelegte Parametrisierung, bei der jeder Punkt eines Viertelkreises mit der gleichen Ecke des Quadrats und jeder Punkt auf einer Quadratseite mit dem gleichen Kreispunkt verbunden wird, werden die meisten CAD-Programme aber vermutlich nicht wählen (aber das ist nur eine Vermutung, da fehlt mir der Überblick).
diddlsurfer

diddlsurfer aktiv_icon

12:24 Uhr, 13.08.2018

Antworten
hallo Roman,
Danke für deine Lösung, wie du im Anhang (jetzt hoffentlich) siehst,
sind wir jetzt konform.
Wenn ich die Zeit bekomme schau ich mal wie man die Formel ins Excel bekommt.

Mit Integralrechnung im Excel hab ich noch keine Erfahrung.

Also Vielen Dank

Wenn ich es hinbekomme sag ich dir bescheid.


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Antwort
Roman-22

Roman-22

13:01 Uhr, 13.08.2018

Antworten
> Danke für deine Lösung, wie du im Anhang (jetzt hoffentlich) siehst, sind wir jetzt konform.
Ja, jetzt ist es klar und auch meine ursprüngliche Vermutung, dass die Zeichnung nach a=2r(=1000) ausieht hast du bestätigt. Darüber hinaus sieht es zusätzlich nach h=a aus - ist allerdings nicht bemaßt.

Die Formel reduziert sich dann ja auf

M(a):=a2[2+0π4(2cost-1)2+4dt]

Die Mantelfläche skaliert dann natürlich nur mit a2, der Wert in den eckigen Klammern ist fix ca 3,5883539096234127415.

Falls also a=2r=h=103 sein soll, komme ich für die Maßzahl der Mantelfläche auf ca. 3,58835106.
Das ist plausibel, hat doch der eingeschrieben Zylinder eine Mantelfläche von ca. 3,14159106 und der umschriebene Würfel hat 4106.

> Wenn ich die Zeit bekomme schau ich mal wie man die Formel ins Excel bekommt.
Naja, out of the box hat Excel mit Integralen nix am Hut. Da musst du dir wohl irgend eine Approximation basteln.
Außer, wenn immer a=2r=h gilt, dann kannst du den Wert von oben ja übernehmen und musst ihn nur jeweils mit a2 multiplizieren.

> Mit Integralrechnung im Excel hab ich noch keine Erfahrung.
Ich auch nicht. Generell denke ich, das Excel für wissenschaftliche oder ingenieur-technische Zwecke nicht verwendet werden sollte. Da gibts für jede Anwendung deutlich bessere Software, die die Berechnungen, das Design von Modellen und vor allem die Dokumentation der Arbeit deutlich einfacher und besser erledigen lassen.
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