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Max. Kegelvolumen in Abhängigkeit von Höhe

Schüler Gymnasium,

Tags: Extremwert, Kegelvolumen, Maximum

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02:39 Uhr, 12.06.2018

Kann mir bitte jemand mit der folgenden Aufgabe helfen?

Gegeben ist das Volumen eines Kegels in Abhängigkeit von der Höhe:

K (h) = \frac{10^{2}}{3} \cdot π \cdot h - \frac{1}{3} \cdot h^{3}

Berechne das maximale Kegelvolumen.

Wie gehe ich bei sowas vor, wäre sehr dankbar für eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

05:38 Uhr, 12.06.2018

Grundsätzlich würde man hier den/die Extremwert(e) von K(h) bestimmen, d.h. ableiten und gleich 0 setzen.
Fehlt da bei

\frac{1}{3} h^{3}

nicht noch ein

π

SpaceMad aktiv_icon

14:59 Uhr, 12.06.2018

Danke, die Aufgabe wurde so gestellt. Leider tue ich mich immer etwas schwer zu erkennen, was bei solchen Aufgaben eigentlich gefragt ist. Hast du vielleicht eine Trick, woran ich das gut erkennen kann. Extremwerte immer wenn nach einem Maximum gefragt wird? Mein größtes Problem ist einfach, dass mich solche Aufgabenstellungen oft verwirren.

Gut, dann würde ich mal so vorgehen:

Erste & zeite Ableitungen bestimmen:

K (h)' = \frac{100 \cdot π}{3} - h^{2}

K (h)'' = - 2 h

Null setzten:

\frac{100 \cdot π}{3} - h^{2} = 0

\frac{100 \cdot π}{3} = h^{2}

+ \sqrt{\frac{100 \cdot π}{3}} = h

- \sqrt{\frac{100 \cdot π}{3}} = h

h 1 = 10,233

h 2 = - 10,233

In zweite Ableitung einsetzten:

K'' (10,233) = - 2 \cdot 10,233

= - 20,467

Kleiner als 0 und daher Minimum

K'' (- 10,233) = - 2 \cdot - 10,233

= 20,467

Größer als 0 und daher Maximum

Jetzt noch in die Y-Koordinaten:

K (10,233) = \frac{10^{2}}{3} \cdot π \cdot 10,233 - (\frac{1}{3}) \cdot {10,233}^{3}

= 714,41

K (- 10,233) = \frac{10^{2}}{3} \cdot π \cdot - 10,233 - \frac{1}{3} \cdot {(- 10,233)}^{3}

= - 714,41

Hochpunkt an Stelle:

x = 10,233

und

y = - 714,41

Tiefpunkt an Stelle:

x = - 10,233

und

y = 714,41

Stimmt das so? Oder muss ich da noch mehr machen?

supporter aktiv_icon

15:04 Uhr, 12.06.2018

Es gibt keine negative Höhe, Der Fall scheidet also sofort aus. :-)
Unnötige Arbeit.

Respon

15:12 Uhr, 12.06.2018

K'' (h) < 0 \Rightarrow

Maximum !

Atlantik aktiv_icon

15:52 Uhr, 12.06.2018

"Berechne das maximale Kegelvolumen."

mfG

Atlantik

SpaceMad aktiv_icon

16:10 Uhr, 14.06.2018

Wie soll ich das genau machen? Die Grundfläche habe ich ja immer noch nicht.
Außerdem verstehe ich nicht ganz warum es keine negative Höhe geben kann. Im

3 D

Raum ginge das doch auch. Irgendwie bin ich noch genau so verwirrt wie vorher.

\frac{:}{}

Doerrby aktiv_icon

16:24 Uhr, 14.06.2018

Du hast das maximale Kegelvolumen doch schon ausgerechnet (714,4).
Weil du eine Formel komplett mit h hast, brauchst du die Grundfläche nicht.
Wenn du sie trotzdem ausrechnen willst, dann stellst du die Kegelformel
V =

\frac{1}{3} G \cdot h

nach G um, also: G = 714,4 :

\frac{1}{3}

: 10,23 = 209,5

Tatsächliche Strecken, Flächen, Volumina u.ä. sind immer positiv, so wie Beträge. Wenn der Kegel z.B. mit der Spitze nach unten verläuft, misst du trotzdem die Entfernung zwischen der Grundkreismitte und der Spitze, das ist immer eine positive Zahl.

SpaceMad aktiv_icon

21:40 Uhr, 14.06.2018

Danke dir Doerrby, jetzt ist mir alles klar geworden. :-D)

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