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Maximales Volumen einer Schachtel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwert, maximales Volumen

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15:25 Uhr, 24.01.2011

Hallo,

ich soll folgende Aufgabe lösen. Aus einem Stück Pappe

16 x 10

cm sollen an den Ecken jeweils Quadrate mit der Seitenlänge

x

ausgeschnitten werden. Das soll so gemacht werden, dass wenn man die Pappe nun zu einer Schachtel faltet, maximales Volumen herauskommt. Mit Hilfe der Skizza ist die Aufgaben eigentlich leicht zu verstehen, nur leider habe ich keinen richtigen Ansatz , wo ich anfangen soll.

Vielleicht kann mir ja jemand helfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Shipwater aktiv_icon

15:33 Uhr, 24.01.2011

Gebe Breite

b,

Länge

l

und Höhe

h

des entstehenden Quaders in Abhängigkeit von

x

an. Da Volumen ist ja einfach

V = b \cdot l \cdot h

und das musst du dann maximieren.

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15:42 Uhr, 24.01.2011

V = (16 - x) \cdot (10 - x) \cdot x

V = 160 x - 26 x^{2} + x^{3}

richtiger Ansatz ?

DmitriJakov aktiv_icon

15:56 Uhr, 24.01.2011

Passt. Nun nur noch die erste Ableitung bilden und Null setzen um die Extreme zu bestimmen, danach die 2. Ableitung bilden um die Art der Extrema festzustellen, also ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.

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16:04 Uhr, 24.01.2011

die restlichen Schritte sind mir klar,
aber wie löse ich das nochmal ?

0 = 160 - 52 x + 3 x^{2}

ich steh grad irgendwie auf dem Schlauch.

hagman aktiv_icon

16:10 Uhr, 24.01.2011

pq-Formel ?

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16:15 Uhr, 24.01.2011

ich komm echt nicht weiter

. .

0 = 160 - 52 x + 3 x^{2}

0 = \frac{160}{3} - \frac{52}{3} + x^{2}

p = 1

q = - \frac{52}{3}

hagman aktiv_icon

16:19 Uhr, 24.01.2011

Wenn du

0 = \frac{160}{3} - \frac{52}{3} x + x^{2}

mit

x^{2} + p x + q = 0

vergleichst, solltest du auf

p = - \frac{52}{3}, q = \frac{160}{3}

kommen.

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16:20 Uhr, 24.01.2011

Klar, Flüchtigkeitsfehler, danke euch ;-)

BeeGee aktiv_icon

17:23 Uhr, 24.01.2011

Sorry, dass ich mich einmische, aber ich bin mit dem Ansatz nicht ganz einverstanden.
Ist nicht

l = 16

- 2 x

und

b = 10

- 2 x

?

Damit:

V = (16 - 2 x) \cdot (10 - 2 x) \cdot x = 4 x^{3} - 52 x^{2} + 160 x

DmitriJakov aktiv_icon

17:31 Uhr, 24.01.2011

Hi BeeGee

erwischt

. .

. Flüchtigkeitsfehler von mir

BeeGee aktiv_icon

17:34 Uhr, 24.01.2011

*zwinker* :-)

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21:46 Uhr, 24.01.2011

hey, nochmal ne Frage.

wenn ich das mit der pq-Formel auflöse kommt meiner Meinung nach Unsinn raus.

V' (x) = 12 x^{2} - 104 x + 160

p = - \frac{104}{3}

q = \frac{160}{3}

x_{1} = 10

x_{2} = - \frac{4}{3}

laut geogebra ist das totaler unsinn. außerdem brauch ich doch nur eine Extremwert. bitte helft mir.

BeeGee aktiv_icon

03:41 Uhr, 25.01.2011

Da hast Du Dich etwas verhauen. Du musst schon sauber kürzen!

V' (x) = 12 x^{2} - 104 x + 160

V'' (x) = 24 x - 104

12 x^{2} - 104 x + 160 = 0

x^{2} - \frac{26}{3} x + \frac{40}{3} = 0

p = - \frac{26}{3}

q = \frac{40}{3}

Die Volumenfunktion (ganzrationale Funktion 3. Grades) hat nicht nur ein rel. Maximum, sondern ebenso ein rel. Minimum. Daher bekommst Du zwei Punkte mit waagerechter Tangente (also zwei Punkte, die die notwendige Bedingung erfüllen), aber nur einer davon ist das gesuchte Maximum. Das kannst Du mit Hilfe von

V'' (x)

feststellen (hinreichende Bedingung).

[

Lösung:

x = 2]

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