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Maximum berechnen mit Cos

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: cos, Extremwert, Funktionalanalysis

Getchaos aktiv_icon

19:12 Uhr, 03.03.2014

Hey Leute,

da mein Matheunterricht ne weile her ist habe ich Probleme bei der Berechnung des Extremwertes der folgenden Funktion:

cos (90 x - 20)

– (9x-2)²

Ich weiss das als Ergebnis

\frac{2}{9}

rauskommt mit dem maximum 1. Nur leider weiss ich überhaupt nicht wie ich vorgehen muss. Ich erinner mit dunkel das ich zunächst mal Ableitungen bilden muss, doch mit cosinus hab ich sowas noch nie gemacht. Kann mir jemand den Lösungsweg aufschreiben / erläutern. Wäre super nett

=)

Vielen Dank im voraus

: >

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

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GoldenTeddy aktiv_icon

20:01 Uhr, 03.03.2014

Hi,

genau die Sache mit der Ableitung ist schon richtig.

Lokale Maxima bzw. Minima kannst du bestimmen, indem du die erste Ableitung bildest und diese mit 0 gleichsetzt, also

f ʹ (x) = 0

.

Die erste Ableitung einer Potenzfunktion ist:

f (x) = c \cdot x^{a}

f ʹ (x) = c \cdot a \cdot x^{a - 1}

für

a \neq 0

Die erste Ableitung von Cosinus ist der negative Sinus:

f (x) = c o s (x)

f ʹ (x) = - s i n (x) .

Allerdings musst du die Kettenregel verwenden, um Cosinus abzuleiten:

f (x) = c o s (g (x))

f ʹ (x) = - s i n (g (x)) \cdot g ʹ (x)

Es gilt, dass die Ableitung einer Summe von Funktion die Summe der Ableitungen ist:

(f (x) + g (x)) ʹ = f ʹ (x) + g ʹ (x)

Also kannst du deine zwei Summanden getrennt ableiten!

Versuch das mal auf deine Funktion anzuwenden :-)

Edddi aktiv_icon

20:06 Uhr, 03.03.2014

Die lokalen Extremstellen zu berechnen, und dann noch das absolute Maximum herauszufinden ist hier sehr aufwendig.

Hier ist besser Überegung gefragt. Zur Vereinfachung substituiere

z = 9 \cdot x - 2

Der Term

z^{2}

ist immer größer Null und wächst mit der Entfernung von

z = 0

sowohl in positiver als auch in negativer Richtung an.

Der Kosinusterm kann nur Werte zwischen

- 1

und

+ 1

annehmen.

Das Maximum der Funktion könnte somit höchstens 1 sein. Und dies auch nur an der Stelle

z = 0,

da sonst vom Kosinuswert ja immer was abgezogen wird.

Bedenke das beide Summanden symmetrisch sind. Somit ist auch die gesamte Funktion symetrisch ( axialsymm.)

Es ergibt sich also,

cos (10 \cdot z) - z^{2}

mal an der Stelle

z = 0

zu untersuchen.

Es kommt tatsächlich das Maximum von 1 raus. Und welches

x

musst du wohl wählen, damit

z = 0

?

:-)

Getchaos aktiv_icon

20:51 Uhr, 03.03.2014

Ah das mit substituieren macht das ganze wesentlich einfacher! Das war echt genial, aber dafür fehlt mir irgendwie der Blick sowas zu erkennen. Dann kommt

\frac{2}{9}

raus wunderbar, ich werd das ganze aber trotzdem nochmal mit der klassischen Variante versuchen, einfach der Übung wegen. Trotzdem vielen Dank

=)

Getchaos aktiv_icon

23:06 Uhr, 03.03.2014

Habs nun mal nach dem Ansatz von GoldenTeddy versucht.

Nachdem ich nochmal einen crashkurs Ableitungen belegt habe bin ich nun auf die folgenden abgeleitet Fuktion gekommen:

- sin (90 x - 20) \cdot 90 - 18 (9 x - 2)

kann das jemand validieren?^^

Das ganze muss ich nun 0 setzen also:

0 = - sin (90 x - 20) \cdot 90 - 18 (9 x - 2)

Nun ist mir aber nicht genau klar wie ich weiter verfahren kann.

Kann ich bei der berechnung das Sinus außen vor lassen?

also quasi:

0 = - (90 x - 20) \cdot 90 - 18 (9 x - 2)

aleph-math aktiv_icon

02:42 Uhr, 04.03.2014

Gu. Abend!

Für kl. x<<1 gilt tats. sin(x)~x. Ob das zutrifft, schau'n wir mal:

\sin (90 x - 20) 90 = - 18 (9 x - 2) \Rightarrow 5 (90 x - 20) \approx (2 - 9 x) \Rightarrow

450 x + 9 x \approx 102 \Rightarrow x \approx \frac{102}{459} = \frac{2}{9}

.

Das stimmt mit d. vorgeb. Wert überein, x=0,2222 ist wohl klein genug, um d. ob. Näherung zuzulassen.

D. exakte Rechn. wäre

(90 x - 20) = \arcsin (\frac{2 - 9 x}{5})

; zieml. ungemütlich.. Da ist d. Näherung o. d. Substit. schon einfacher u. führt zum gl. Ergeb.

Weiter gutes Gelingen!

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