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Minimalen Verschnitt berechnen

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Maßtheorie

Tags: Fläche, Maßtheorie, minimal, Optimierung, Sonstig

 
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capekall

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11:40 Uhr, 16.10.2015

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Hi Leute,

meine Freundin produziert Pop-Up Karten, und für eine Ihrer Kreationen benötigt sie Quadrate. Diese schneidet sie in der Regel aus einem DINA4 Blatt aus. Die Größe der Quadrate ist nahezu egal, allerdings hat sie natürlich immer einen gewissen Verschnitt. Und ich dachte mir: Es wäre doch mal interessant zu wissen, bei welcher Quadratgröße der Verschnitt minimal ist. Allerdings bin ich daran bis jetzt etwas hängen geblieben. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.

Man Stelle sich also ein DINA4 Blatt vor. Länge der kurzen Seite = 210mm, Länge der langen Seite = 297mm. Um nicht immer den kompletten Kontext schreiben zu müssen, führe ich jetzt ein Paar Abkürzungen ein.

x:Anzahl Quadrate auf der kurzen Seite
y:Anzahl Quadrate auf der langen Seite
s:Seitenlänge eines Quadrates
restX:Verschnitt auf der kurzen Seite
restY:Verschnitt auf der langen Seite

-----

Jetzt stellt sich die Frage: Wie teilt sich die Seitenlänge auf. Dazu dachte ich mir:
x⋅s+ restX =210
y⋅s+ restY =297

Um den Verschnitt auf jeder Seite zu bekommen, muss ich also nur die Formel umstellen.
restX =210-x⋅s
restY =297-y⋅s

Da ja die gesamte Länge der Seite bekannt ist, und x abhängig von s ist, kann ich diese Abhängigkeit doch auch definieren.
x= floor(210 /s)
y= floor(297 /s)

Wenn ich also den Verschnitt pro Seite haben möchte, so kann ich die obere Formel nehmen und x einfach einsetzen.
restX =210- floor(210 /s)⋅s
restY =297- floor(297 /s)⋅s

Die Gesamtverschnittfläche berechnet sich also nun aus der Summe der Verschnitte der Seiten ⋅ Länge der anderen Seite. Allerdings muss man davon noch die kleine Fläche abziehen, die man doppelt addiert hat. (Ich hoffe das war verständlich :-D) )Im Klartext heißt das:
Verschnitt = (restX ⋅297)+ (restY ⋅210)- (restX ⋅ restY)

Wenn ich nun den Gesamtverschnitt haben möchte, muss ich lediglich die Formeln für die Seitenverschnitte einsetzen, und kann mir den Verschnitt abhängig von der Seitenlänge eines Quadrates berechnen.

Verschnitt =(210- floor(210 /s)⋅s)⋅297+(297- floor(297 /s)⋅s)⋅210-
(210- floor(210 /s)⋅s)⋅(297- floor(297 /s)⋅s)

-----

Ich hoffe soweit ist noch alles richtig, und ich hab mich verständlich genug ausgedrückt. :-)
Jetzt kommt aber die eigentliche Aufgabenstellung, und an der scheitere ich leider. Aus praktischer Sicht müssen die Quadrate nämlich größer oder gleich 70mm sein, und dürfen natürlich auch nicht größer sein als die kurze Seite eines DINA4 Blattes, also 210mm.

Verschnitt soll also minimal sein für 70≤s≤210.

Ich bin der Meinung so eine Optimierungsaufgabe entweder in der Schulzeit, oder im Studium mal gemacht zu haben, kann mich aber irgendwie nicht so richtig dran erinnern. Und auch Google konnte mir bis jetzt noch nicht wirklich weiterhelfen.
Daher bin ich jetzt auf eure Mithilfe angewiesen.

Liebe Grüße
Capekall


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Online-Nachhilfe in Mathematik
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anonymous

anonymous

11:51 Uhr, 16.10.2015

Antworten
Hallo
Ich würde die Aufgabe nicht so verkopft angehen, sondern rein praktisch.

a)
Wenn du die Seitenlänge 70mm wählen willst, dann bekommst du
>3 Quadrate auf der kurzen Seite
>4 Quadrate auf der langen Seite
→ das heisst 3⋅4=12 Quadrate unter.

b)
Wenn du die Seitenlänge s länger wählen willst, dann bietet sich an, die lange Blattseite 297mm durch vier zu teilen:
> 297mm/4 =74.25 mm
>2 Quadrate auf der kurzen Seite
>4 Quadrate auf der langen Seite
→ das heisst 2⋅4=8 Quadrate .

c)
Wenn du die Seitenlänge s länger wählen willst, dann bietet sich an, die lange Blattseite 297mm durch drei zu teilen:
> 297mm/3 =99 mm
>2 Quadrate auf der kurzen Seite
>3 Quadrate auf der langen Seite
→ das heisst 2⋅3=6 Quadrate .

d)
Wenn du die Seitenlänge s noch länger wählen willst, dann bietet sich an, die kurze Blattseite 210mm durch 2 zu teilen:
> 210mm/2 =105 mm
>2 Quadrate auf der kurzen Seite
>2 Quadrate auf der langen Seite
→ das heisst 2⋅2=4 Quadrate .
Antwort
anonymous

anonymous

12:02 Uhr, 16.10.2015

Antworten
Ich ergänze:
> im Fall a): Verschnitt= 210mm ⋅ 17mm =3570 mm²
> im Fall b): Verschnitt= 61.5mm ⋅ 297mm =18265.5 mm²
> im Fall c): Verschnitt= 12mm ⋅ 297mm =3564 mm²
> im Fall d): Verschnitt= 210mm ⋅ 87mm =18270 mm²
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