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Minimaler Abstand zweier Schiffe

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Abstand, Flugzeug, Gerade, minimal, Schiff, Vektor

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16:19 Uhr, 25.03.2012

Hallo,

habe Probleme beim Lösen der folgenden Aufgabe. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.

〈

Die ersten Teilaufgaben habe ich fertig, nur bei der letzten hapert es jetzt noch.

Zwei Schiffe fahren zur gleichen Zeit los. Schiff 1 braucht

40

Minuten von

A (16 | 4)

nach

B (12 | 20);

Schiff 2 fährt mit

25

km/h von

C (4 | 0)

nach

D (24 | 15)

.

Aufg.: Wann sind sich beide Schiffe am nächsten und wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Probleme habe ich bei der Frage nach dem minimalen Abstand. Hier kann ich ja nicht den minimalen Abstand der Geraden (da im

R 2

wäre das der SP) nehmen. Gefragt ist ja nach dem minimalen Abstand der Schiffe.

Vielen Dank schonmal für jede Hilfe!

〈

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

18:13 Uhr, 25.03.2012

Hallo,

man sieht leicht, dass Weg von

C

nach

D

genau

25

beträgt (ich nehme mal an, dass das Koordinatennetz auf einen Kilometer genormt ist). Benutzt man in der Geradengleichung den Vektor

(D - C)

als Richtungsvektor der zweiten Geraden, so gibt der Parameter

t

vor dem Richtungsvektor den Zeitpunkt in Stunden an und das Ergebnis der Geradengleichung sind die Koordinaten des zweiten Schiffes zum Zeitpunkt

t

. Will man dies in der ersten Geradengleichung ebenfalls erreichen, darf man nicht den Vektor

(B - A)

als Richtungsvektor benutzen, da dieser bereits nach

40

Minuten "abgefahren" ist, man muß das 1,5-fache dieses Vektors als Richtungsvektor benutzen, da dies dann dem Vektor entspricht, der in genau einer Stunde "abgefahren" wird. Mit diesem Richtungsvektor erhält man ebenfalls eine Geradengleichung, die den Koordinaten des ersten Schiffes zum Zeitpunkt

t

entspricht. Errechnet man den Abstand der beiden Schiffe zum Zeitpunkt

t,

muß man nur die Differenz der beiden Geradengleichungen bilden und damit den Abstand berechnen. Das ergibt eine Wurzel eines quadratischen Terms in

t

. Dieser ist zu minimieren. Da aber die Wurzelfunktion eine streng monotone Funktion ist, ist die Wurzel minimal, wenn der Radikant minimal ist. Also bildet man von der quadratischen Funktion in

t

die erste Ableitung und setzt diese gleich Null. Damit errechnet man den Zeitpunkt mit dem kleinsten Abstand, der kleinste Abstand ergibt sich dann aus der Wurzel des quadratischen Terms!

prodomo aktiv_icon

19:11 Uhr, 25.03.2012

Mit diesem Ansatz bekomme ich

7,705

km (gerundet). In der Version mit dem Parameter

t

in Stunden gilt

\vec{x_{1}} = (\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ 24 \end{matrix})

und

\vec{x_{2}} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 15 \end{matrix})

. Immer vorausgesetzt, dass wirklich in km gerechnet wird. Dann gilt

\vec{d} = (\begin{matrix} 12 - 26 \cdot t \\ 4 + 9 \cdot t \end{matrix})

. Der Betrag muss minimal werden, das liefert

t = 0,3646 h

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19:27 Uhr, 25.03.2012

Vielen Dank erst einmal für die Antworten! Laut Lösungsbuch sind die Ergebnisse von prodomo richtig!

Bis zu der Stelle, an der die Geradengleichungen gebildet wurden, bin ich selbst noch gekommen. Auch den Faktor

1,5

(wegen der

40

Minuten) habe ich bedacht. Danach komme ich nicht mehr weiter. Was muss ich machen, um die Differenz der Geradengleichungen zu berechnen? Und wie berechne ich dadurch den minimalen Abstand?

Wäre nett, wenn mir jemand Schritt-für-Schritt erklären könnte, wie man diesen minimalen Abstand berechnet.

〈

Finde dazu nichts in Formelsammlung, Mathebuch und Co.

BeeGee aktiv_icon

16:04 Uhr, 26.03.2012

Hallo!

Ich mische mal mit:

Der Abstandsvektor zum Zeitpunkt

t

lautet:

\vec{d (t)} = \vec{x_{1} (t)} - \vec{x_{2} (t)} = (\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ 24 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) - t \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 15 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 - 26 t \\ 4 + 9 t \end{matrix})

Jetzt kannst Du den Betrag von

\vec{d}

in Abhängigkeit von

t

berechnen (ich nehme gleich dessen Quadrat und spare mir die Wurzel - Bummerang hat oben schon richtig erklärt, warum dies zulässig ist:

f (t) = {| \vec{d} |}^{2} = {(12 - 26 t)}^{2} + {(4 + 9 t)}^{2} = 144 - 624 t + 676 t^{2} + 16 + 72 t + 81 t^{2}

f (t) = 757 t^{2} - 552 t + 160

Da wir das Minimum suchen, wird abgeleitet:

f' (t) = 1514 t - 552

f'' (t) = 1514 > 0 \to

rel. Minimum

f' (t) = 0 \to t_{min} = \frac{552}{1514} \approx 0,3646 h = 21,9 min

Und der minimale Abstand:

d = \sqrt{f (t_{min})} = . .

\approx 7,705

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18:15 Uhr, 27.03.2012

Vielen Dank für die Antworten und Erklärungen! Konnte die Ideen jetzt nachvollziehen.

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