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Mit einer Wurzel darstellen und vereinfachen?

Schüler

Tags: Potenz

ichmagpizza2 aktiv_icon

10:38 Uhr, 19.11.2023

Also die Aufgabenstellung lautet den Ausdruck mit einer Wurzel darstellen und wenn möglich, durch partielles Wurzelziehen vereinfachen.

3 \sqrt{a x} \sqrt{a^{4} b^{5}}

Die 3 davor soll die dritte Wurzel darstellen!
Es sind sozusagen zwei Wurzeln ineinander. Das

x

ist ein malzeichen

Das wäre mein Lösungsweg gewesen:

3 \sqrt{a} x {\sqrt{a}}^{2} b^{3}

Ich hätte sozusagen bei

a^{4}

den Exponenten und Wurzelexponenten gekürzt zu

a^{2}

und

b^{5}

zerlegt in

b^{2}

und

b^{3}

Dann bliebe übrig:

3 {\sqrt{a}}^{2} x b {\sqrt{b}}^{3}

Dann hätte ich das

b^{3}

auch wieder zerlegt in

b x b^{2}

bleibt übrig:

3 {\sqrt{a}}^{2} x b^{2} \sqrt{b}

danach weiß ich es nicht

Die Lösung lautet:

a x 6 {\sqrt{b}}^{5}

Die 6 bedeutet wieder die 6te Wurzel

Ich hoffe ich habe das halbwegs anschaulich erklärt und bin für jede antwort dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

pivot aktiv_icon

11:14 Uhr, 19.11.2023

Hallo,

ist der Term

^{3} \sqrt{a \sqrt{a^{4} b^{5}}}

?

Am besten du schreibst den Term auf ein Blatt Papier und machst ein Foto. Das Foto dann in jpg-Format hochladen.
Bitte deine Schönschrift verwenden.

Gruß
pivot

pivot aktiv_icon

11:29 Uhr, 19.11.2023

Ich versuche es mal:

>>Ich hätte sozusagen bei

a^{4}

den Exponenten und Wurzelexponenten gekürzt zu

a^{2}

und

b^{5}

zerlegt in

b^{2}

und

b^{3}

<<

Das ist richtig. Dann konnte ich es nicht mehr ganz nachvollziehen. Ich wandle die Wurzeln oft in Exponenten um, damit ich die Potenzgesetze einfach anwenden kann.

Jedenfalls kann man erst einmal die innere Wurzel als Exponent schreiben:

^{3} \sqrt{a \cdot (a^{4} b^{5})^{\frac{1}{2}}}

Nun das Potenzgesetz

{(x^{c})}^{d} = x^{c \cdot d}

verwenden.

^{3} \sqrt{a \cdot a^{2} b^{5 / 2}}

Jetzt gilt

a \cdot a^{2} = a^{1} \cdot a^{2} = a^{3}

^{3} \sqrt{a^{3} b^{5 / 2}}

Die 3. Wurzel als Potenz von 1/3 schreiben.

{(a^{3} b^{5 / 2})}^{\frac{1}{3}}

Jetzt wieder das Potenzgesetz

{(x^{c})}^{d} = x^{c \cdot d}

verwenden.

So weit verständlich?

Roman-22

12:26 Uhr, 19.11.2023

Alternativvorschlag - alles unter eine einzige Wurzel und dann aufräumen.

Wegen

a = \sqrt{a^{2}}

gilt

\sqrt[3]{a \cdot \sqrt{a^{4} \cdot b^{5}}} = \sqrt[3]{\sqrt{a^{6} \cdot b^{5}}} = (⋆)

und wegen

\sqrt[3]{\sqrt{x}} = \sqrt[3]{\sqrt[2]{x}} = \sqrt[6]{x}

weiter

(⋆) = \sqrt[6]{a^{6} \cdot b^{5}} = a \cdot \sqrt[6]{b^{5}}

Generell finde ich es übersichtlicher, entweder komplett in der Wurzelschreibweise zu bleiben oder aber komplett die Potenzschreibweise zu verwenden, was dann eben ähnlich wie bei pivot so aussehen könnte:

\sqrt[3]{a \cdot \sqrt{a^{4} \cdot b^{5}}} = {(a \cdot {(a^{4} \cdot b^{5})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} = {(a \cdot a^{\frac{4}{2}} \cdot b^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}} = {(a^{3} \cdot b^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}} = a \cdot b^{\frac{5}{6}} = a \cdot \sqrt[6]{b^{5}}

Da der Ausgangsterm in Wurzelschreibweise angegeben ist und die Lösung "mit einer Wurzel darstellen" verlangt, scheint mir hier der Verbleib bei den Wurzel naheliegender und auch kürzer.

Wie schon in diesem Thread
www.onlinemathe.de/forum/Potenzen-mit-positivem-Exponenten-schreiben
würde ich dir dringend raten, dich mehr mit den Formelsatzmöglichkeiten in diesem Forum auseinanderzusetzen. Wie schon geschrieben ist es nicht so schwer und man muss nicht unbedingt LaTeX-Kenntnisse haben um auch im normalen Textmodus lesbare Formel zu produzieren.
Als Beispiel: Die komplette Rechnung

\sqrt[3]{a \cdot \sqrt{a^{4} \cdot b^{5}}} = \sqrt[3]{\sqrt{a^{6} \cdot b^{5}}} = \sqrt[6]{a^{6} \cdot b^{5}} = a \cdot \sqrt[6]{b^{5}}

sieht im Textmodus so aus (aber ohne die Anführungsstriche)
"\root(3)(a*sqrt(a^4*b^5)) = \root(3)(sqrt(a^6*b^5))=\root(6)(a^6*b^5)=a*\root(6)(b^5)"

Das Setzen von Klammern ist essentiell und wenn mal was nicht klappen will und zB aus "ab" partout kein

a b

werden will, dann einfach mal ein ein Leerzeichen (hier zwischen a und

b)

tippen.

Ach ja - und Threads die man eröffnet sollte man auch zeitnah wieder schließen - vorzugsweise mit einer kurzen Replik und bevor man neue eröffnet!

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