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Mittelsenkrechte im dreidimensionalen Raum

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Mittelsenkrechte

 
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womaninblack

womaninblack aktiv_icon

16:14 Uhr, 10.09.2012

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Hallo,

ich muss die Seitenhalbierende, die Mittelsenkrechte (von AC) und die Höhe eines ungleichmäßigen Dreiecks(von ABausgehend) berechnen. Die Koordinaten: A(5/3/1),B(-7/9/0),C(5/4/1).
Die Seitenhalbierende war einfach, nur bei dem Rest komme ich nicht weiter...
Ich habe schon den Mittelpunkt von AC: M(5/3,5/1).
Vielen Dank für die Hilfe!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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prodomo

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17:03 Uhr, 10.09.2012

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Der Richtungsvektor der Höhe muss senkrecht zu AB sein (Skalarprodukt 0) und in der Dreiecksebene liegen. Wenn die Ebene in Parameterform vorliegt, ergibt sich mit dem Skalarprodukt ein zusammenhang zwischen den Parametern s und t der Richtungsvektoren, für den ihre Linearkombination in der Dreiecksebene liegt. Als Aufpunkt nimmst du die Ecke gegenüber.
womaninblack

womaninblack aktiv_icon

18:33 Uhr, 10.09.2012

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Das verstehe ich nicht so ganz... Na gut, ich kann eine Ebene des Dreiecks aufstellen, aber was bringt mir das dann???
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prodomo

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09:35 Uhr, 11.09.2012

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Ist auch nicht so ganz einfach. Die Höhe hc muss ja senkrecht zu der Seite AB sein. Im Raum gibt es aber unendlich viele zu AB senkrechte Richtungen. Davon hat die Höhe hc aber als einzige die Eigenschaft, in der Dreiecksebene zu liegen.
Die Parameterform der Dreiecksebene ist z.B. x=(531)+s(-126-1)+t(010). Der Term s(-126-1)+t(010), also eine beliebige Linearkombination der Richtungsvektoren, beschreibt alle Vektoren auf der Ebene. Davon brauchst du einen, der senkrecht zu AB ist, also mit (-126-1) das Skalarprodukt 0 ergibt. Daraus lässt sich ein Zusammenhang zwischen s und t gewinnen. (Nachrechnen!) Wenn t=-1816s ist, dann bekommst du als Richtung der Höhe hc den Vektor (721456). Die negativen Vorzeichen habe ich umgedreht, da das für die Richtung egal ist. Die Gleichung der Höhe hc ist also x=(541)+r(721456). Um den Höhenfußpunkt zu bestimmen, kannst du sie mit der Geraden AB zum Schnitt bringen, das sollte kein Problem sein.
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prodomo

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09:36 Uhr, 11.09.2012

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Die Mittelsenkrechte wird genauso in die Ebene gelegt, aber senkrecht zu AC und durch den Mittelpunkt der Seite.
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Jjohannez

Jjohannez aktiv_icon

03:54 Uhr, 30.03.2020

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Hallo. Ich verstehe hier noch nicht ganz den Zusammenhang.

" Daraus lässt sich ein Zusammenhang zwischen s und t gewinnen. (Nachrechnen!) Wenn t=-1816s ist, dann bekommst du als Richtung der Höhe hc den Vektor (721456) ."

Wie kommt man auf t=-1816s ??? Und wie lässt sich daraus der Vektor hc bzw. (721456) schließen?
MFG Johannes
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maxsymca

maxsymca

08:43 Uhr, 30.03.2020

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Standard ist es eine Gerade aus einer Seite zu bauen, damit den Fußpunkt zum gegenüber liegenden Punkt zu konstruieren.

gb(t)A+t*(CA)
gb(t):=(5,t+3,1)
Skalarprodukt
(gb(t)B)(gb(1)gb(0))=0
(12,t-6,1)(0,1,0)=0
t=6
Fhb:=(5, 9,1)
===> h = sqrt((Fhb-B)^2)
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Jjohannez

Jjohannez aktiv_icon

19:16 Uhr, 30.03.2020

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Hallo. Danke für die Schnelle Antwort. Ich habe mittlerweile einen anderen für mich leichter verständlichen Weg herausgefunden. Ich habe zuerst mit dem kürzesten Abstand von C zu AB einen Punkt Q errechnet, von welchem ich dann eine Senkrechte Gerade mit C definieren konnte, welche ich dann zur Mitte von AB parallel verschoben habe. Hier nochmal die Zeichnung dazu:
www.geogebra.org/m/nqq9rwtg

Aber auf jeden Fall danke für all eure Beiträge.
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maxsymca

maxsymca

19:39 Uhr, 30.03.2020

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Die Latex-Anteile meiner Antwort sind GeoGebra entnommen und können 1:1 im CAS verwendet werden. Mehr zu GeoGebra CAS und analytischer Geometrie unter
www.geogebra.org/u/hawe

Da kann man näher am schriftlichen arbeiten...
Der Lotfußpunkt Fhb ist der mit kürzestem Abstand zum gegenüberliegenden Eck-Punkt B, weil _|_


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