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Normalenvektor einer Geraden
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Gerade, Normalenvektor
 
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Hi Leute, ich bin's nochmal. Nachdem meine letzte Frage super beantwortet wurde (LG an sams ;-)), folgt sogleich die nächste (und hoffentlich letzte). Man habe eine Gerade im 3-dimensionalen Raum. Und man möchte den Abstand der Gerade zu einem Punkt bestimmen. Würde ich über die Hessesche Normalenform (HNF) machen, wäre da nicht die Tatsache, dass eine Gerade im 3-dimensionalen unendlich viele Normalenvektoren hat. (anders als eine Ebene, da gibt es ja nur eine Normale) - oder täusche ich mich in der Annahme? Die HNF für eine Gerade kann ich nur im 2-dimensionalen Raum anwenden... ist mein Stützvektor, mein Richtungsvektor. Der Normalenvektor wäre dann also oder liege ich da falsch? Danach würde ich mit der HNF weiterrechnen. Wie bestimme ich aber nun den Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt im 3-dimensionalen Raum, wenn es keinen Normalenvektor gibt? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ebene Geometrie - Einführung Ebenen in Normalenform Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Ebene Geometrie - Einführung Ebenen in Normalenform Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie |
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Tatsächlich gibt es im dreidimensionalen Raum unendlich viele Normalen zu einer Geraden. Auch zu einer Ebene gibt es unendlich viele Normalen, nur haben die dieselbe Richtung. ;-) Um im dreidimensionalen Raum die (kürzeste) Distanz von einer Geraden zu einem Punkt zu berechnen, stellst du zuerst die Gleichung einer normalen Ebene zur gegebenen Gerade auf und setzt dann den gegebenen Punkt ein. Anschliessend schneidest du sie mit der gegebenen Gerade, um den Fusspunkt des kürzesten Abstands zu erhalten. Am Schluss einfach noch den Abstand von gegebenen Punkt zu Fusspunkt berechnen. Ist mit einem Zahlenbeispiel etwas einfacher... MfG |
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Okay, genau das haben wir in der Schule auch probiert. Und wenn ich mich nicht täusche ist der Punkt auf der Ebene, der zu dem Punkt zur Abstandsbestimmung den kleinsten Weg hat, der Lotfußpunkt des Lotes zwischen der Ebene und dem Punkt. ;-) Dachte nur, das würde auch irgendwie einfacher gehen... ist ja 'ne ziemliche Rumrechnerei, bei der man sich nicht verhaspeln darf. Dankeschön! |
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Es gibt - soweit ich mich erinnere - auch eine Formel, die mit dem Kreuzprodukt zu tun hat. Der Weg mit der Normalenebene ist mit Sicherheit nicht der Einzige. ;-) MfG |
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In einem Mathe-"Nachhilfe-Buch steht auch die drin: Wobei der Richtungsvektor der Geraden zu sein scheint, und der rechte Klammerausdruck der Stützpunkt und der Punkt zu dem der Abstand bestimmt werden soll... wenn ich das richtig verstanden habe. |
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