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Normalvektor in R3 - Dreieck

Schüler Wirtschaftsberufliche mittlere u. höhere Schulen, 10. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Normalvektor, R3, Vektor

maxl12345 aktiv_icon

15:55 Uhr, 12.03.2010

Hallo!
ich brauche hilfe bei einem beipiel mit vektoren:
ich benötige, damit ich den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC berechnen kann, den Normalvektor!
kann mir jemand helfen, wie ich auf den normalvektor komme?

hier die Vektoren:
AB

(\begin{matrix} - 4 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix})

(\begin{matrix} 3 \\ - 8 \\ 8 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 7 \end{matrix})

lg und danke im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Parallelverschiebung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DerDepp aktiv_icon

16:03 Uhr, 12.03.2010

Hossa :-)

Das Kreuz-Produkt zweier Vektoren steht senkrecht auf der Fläche, das die beiden Vektoren aufspannen. Außerdem ist der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren gleich der Fläche des Parallelogramms, das sie aufspannen.

In deinem Fall bietet sich AB x AC an...

Viele Grüße

DerDepp

ahmedhos aktiv_icon

16:34 Uhr, 12.03.2010

F = | | \vec{A B} \times \vec{A D} | |

In unserer Skizze wäre also die Fläche des Parallelogramms:

| | \vec{A B} \times \vec{A C} | |

http//de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Komponentenweise_Berechnung

\vec{A B} \times \vec{A C} = (\begin{matrix} - 4 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 7 - (- 3 \cdot - 4) \\ - (- 4 \cdot 7 - 0 \cdot - 3) \\ - 4 \cdot - 4 - 0 \cdot 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 21 + 12 \\ 28 \\ 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 33 \\ 28 \\ 16 \end{matrix})

http//de.wikipedia.org/wiki/Vektor#Betrag_eines_Vektors
http//www.frustfrei-lernen.de/mathematik/betrag-eines-vektors.html

| | \vec{A B} \times \vec{A C} | | = | | (\begin{matrix} - 4 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 7 \end{matrix}) | | = | | (\begin{matrix} 33 \\ 28 \\ 16 \end{matrix}) | | = \sqrt{{(33)}^{2} + {(28)}^{2} + {(16)}^{2}} = 46,14 F . E

. "Flächeneinheit"

Die Hälfte dieser Fläche ist dann die Fläche deines Dreiecks.

Der Normalenvektor ist:

\vec{n} = (\begin{matrix} 33 \\ 28 \\ 16 \end{matrix})

maxl12345 aktiv_icon

11:08 Uhr, 13.03.2010

ah ist doch gar nicht so schwer ;-)

danke vielmals!

lg

dude-88 aktiv_icon

15:18 Uhr, 03.01.2011

Ich habe dir die Situation gezeichnet. Die 2 blauen Vektoren sind ein Zusatz von mir, weil:
Schau dir die Skizze von Wiki an:
http//de.wikipedia.org/wiki/Parallelogramm
Fläche des Parallelogramms ist
F=||AB→×AD→||
In unserer Skizze wäre also die Fläche des Parallelogramms: ||AB→×AC→||
http//de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Komponentenweise_Berechnung
AB→×AC→=(−43−3)×(0−47)=(3⋅7−(−3⋅−4)−(−4⋅7−0⋅−3)−4⋅−4−0⋅3)=(21+122816)=(332816)
http//de.wikipedia.org/wiki/Vektor#Betrag_eines_Vektors
http//www.frustfrei-lernen.de/mathematik/betrag-eines-vektors.html

||AB→×AC→||=||(−43−3)×(0−47)||=||(332816)||=(33)2+(28)2+(16)2=46,14F.E. "Flächeneinheit"

Die Hälfte dieser Fläche ist dann die Fläche deines Dreiecks.

Der Normalenvektor ist:
n→=(332816)

Moin,

also ich glaube da ist nen kleiner fehler drin !
weil:
beim Kreuzprodukt des ersten terms

(3 \cdot 7 - (- 3 \cdot - 4) =

nicht

33

sondern 9
minus mal minus ist plus, mal minus

= 21 - 12 = 9

und dann noch:
Sind die Vektoren im

R^{2}

oder im

R^{3}

??
es müsste aber im

R^{3}

sein, daher muss man das ergebnis noch mit

\frac{1}{2}

multiplitzieren, hätte als gesamtergebnis:

16,74

FE

Gruß

ahmedhos aktiv_icon

15:27 Uhr, 03.01.2011

Richtig erkannt. Danke für die Korrektur. Ein

\frac{1}{2}

ist "denke ich" unnötig. Wenn du mit

\frac{1}{2}

multiplizierst, dann hast du die Hälfte von der Fläche des Parallelogramms.
http//matheraum.de/forum/Flaecheninhalt_Parallelogramm/t488455

dude-88 aktiv_icon

15:31 Uhr, 03.01.2011

gerne.

aber es ist ja auch ein Dreieck ;-)

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