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Nullstellen des komplexen Sinus

Universität / Fachhochschule

Tags: Übriges

 
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anonymous

anonymous

12:07 Uhr, 01.05.2003

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a) Wie bestimmt man die Nullstellen des komplexen Sinus.



Für welche z el IC ist sin z

reell bzw. rein imaginär?



b) Was wäre Sie die Menge z el IC : |sin z| < 1 Skizziert?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Antwort
anonymous

anonymous

12:54 Uhr, 07.05.2003

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Hallo Markus,



Zu a)

Du kannst zeigen, dass der komplexe Sinus nur reelle Nullstellen hat, und zwar folgendermaßen:



sin(z) = 0 mit z=x+iy

<=> (e^(i*z) - e^-(i*z)) / 2*i = 0



Das führt zu:



e^(ix-y) = e^(y-ix)



Wenn du auf beiden Seiten den Betrag nimmst, fallen die Faktoren mit e^(i*...) weg, da diese jeweils 1 sind und es steht da:



e^(-y) = e^y => y = 0, also ist der Imaginärteil von z gleich 0, d.h. z ist reell.



Und die reellen Nullstellen des Sinus sind alle z=k*Pi mit k aus den ganzen Zahlen.



Zu den anderen Fragen kann ich im Moment auch noch nichts sagen, poste aber nochmal falls ich was rausfinden kann.



Gruß, Maggie
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