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Obere/Untere Schranke einer Folge mit Fakultät

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Fakultät, Folgen und Reihen, Konvergenz, Monotonie, Schrank

Akiragirl aktiv_icon

23:30 Uhr, 08.01.2015

Liebe Mathematiker,

ich habe ein Problem mit einer Aufgabe, an der ich nun schon seit ca. 2 Stunden verzweifle. Und zwar soll ich für die Folge an

= \frac{n \cdot 3^{n}}{(n + 1)!}

die obere bzw. untere Schranke und Monotonie bestimmen. Ich tue mich aber sehr schwer, die Fakultät irgendwie so sinnvoll abzuschätzen, dass ich damit die Schranken beweisen kann.
Durch "herumprobieren" habe ich als Vermutung für eine obere Schranke 4 und für eine untere Schranke 0 festgelegt

(a 1 = 1,5, a 2 = 3, a 3 = 3,375, a 4 = 2,7, a 5 = 1,68

usw.)

Wenn ich nun die obere Schranke

z . B

. beweisen möchte, muss ich ja zeigen, dass

\frac{n \cdot 3^{n}}{(n + 1)!} \leq 4

(bzw. irgendeine beliebige reelle Zahl). Dazu müsste ich ja nun die Fakultät irgendwie abschätzen. Damit der Bruch nach oben abgeschätzt wird, muss der Nenner dann nach unten abgeschätzt werden, also irgendein Wert, der kleiner

(n + 1)!

ist für alle

n,

mit dem ich dann nachher aber auch noch das zeigen kann, was ich möchte. Die einzig sinnvolle Abschätzung, die ich gefunden habe, war

2^{n} \leq (n + 1)!

aber wenn ich das einsetze komme ich nachher auf

{(\frac{3}{2})}^{n} \cdot n

und das geht einfach nur noch gegen unendlich und ich kann direkt garkeine obere Schranke mehr zeigen.

Hat jemand vielleicht einen Lösungsansatz für die Abschätzung der Fakultät für mich? Dasselbe Problem ergibt sich bei der unteren Schranke dann auch

. .

: - (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

23:39 Uhr, 08.01.2015

Du kannst z.B.

4^{n} < 10 \cdot (n + 1)!

nutzen.

Akiragirl aktiv_icon

23:55 Uhr, 08.01.2015

Hallo!

Wenn ich das einsetze, dann komme ich durch umstellen auf

(\frac{4^{n}}{10}) < (n + 1)!,

dann setze ich diesen Term für mein ursprüngliches

(n + 1)!

ein und erhalte

\frac{n \cdot 3^{n}}{(n + 1)!} < \frac{n \cdot 3^{n}}{\frac{4^{n}}{10}}

\frac{n \cdot 3^{n}}{\frac{4^{n}}{10}} = \frac{10 n \cdot 3^{n}}{4^{n}} = 10 n \cdot {(\frac{3}{4})}^{n}

Und an der Stelle komme ich wieder nicht weiter. Muss ich jetzt wieder etwas abschätzen oder kann ich jetzt schon mit Umformungen weiterkommen? Wenn ich den letzten Ausdruck kleiner vier setze komme ich auf

{(\frac{3}{4})}^{n} < \frac{2}{5 n}

. Und wie soll ich das beweisen?

(wie kommt man eigentlich auf die von dir genannte Abschätzung? Kann man die irgendwie beweisen oder kann man die einfach als gegeben voraussetzen?)

Euklides

01:16 Uhr, 09.01.2015

Die Abschätzung lässt sich leicht beweisen wenn du die Fälle n=0 und n=1 ausrechnest und dann mit der Vorraussetzung n größergleich 2 eine vollständige Induktion machst.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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